ESTABILIDAD RELATIVA-TEORIA DE CONTROL

ANALISIS DE ESTABILIDAD RELATIVA

Siempre es posible reducir un sistema con elementos de realimentación a un sistema con realimentación unitaria, como se aprecia en la figura.

Por tanto, el análisis de la estabilidad relativa de un sistema con realimentación unitaria puede extenderse a los sistemas con realimentación no unitaria. También supondremos, a menos que se mencione lo contrario, que los sistemas son de fase mínima; es decir, que la función de transferencia de lazo abierto G(s) no tiene polos ni ceros en el semiplano derecho del plano s.

Análisis de la estabilidad relativa mediante un mapeo conforme.

Uno de los problemas importantes al analizar un sistema de control es encontrar todos los polos en lazo cerrado, o al menos los más cercanos al eje jw (o el par de polos dominantes en lazo cerrado). Si se conocen las características de la respuesta en frecuencia en lazo abierto de un sistema, es posible encontrar los polos en lazo cerrado más cercanos al eje jo. Obsérvese que el lugar geométrico de Nyquist G(jw) no necesita ser una función de o analíticamente conocida.

El lugar geométrico de Nyquist completo se obtiene experimentalmente. La técnica que se va a presentar aquí es esencialmente gráfica y se basa en un mapeo apegado de los planos dentro del plano G (s).

Considere el mapeo conforme de las líneas con o constante (las líneas s = u + jo, en donde u es una constante y w varfa) y las lineas de w constante (las líneas s = u + jo, en donde 0 es una constante y u varía) en el plano s. La línea u = 0 (eje jo) en el plano s se mapea dentro de la traza de Nyquist en el plano G(s). Las lineas de u constante en el plano s se mapean dentro de las curvas similares a la traza de Nyquist y son en un sentido, paralelas a la traza de Nyquist, como se observa en la figura 8-71. Las líneas de o constante en el planos se mapean dentro de las curvas, mismas que también se aprecian en la siguiente figura.

Márgenes de fase y de ganancia.

La figura anterior se muestra las trazas polares de GQw) para tres valores diferentes de la ganancia K en lazo abierto. Para un valor grande de la ganantia K, el sistema es inestable. Conforme la ganancia se decrementa hacia cierto valor, el lugar geométrico G(iw) pasa por el punto - 1 + iO. Esto significa que, para este valor de la ganancia, el sistema está al borde de la inestabilidad y presenta oscilaciones sostenidas. Para un valor pequeño de la ganancia K, el sistema es estable.

Margen de fase: el margen de fase es la cantidad de atraso de fase adicional en la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad.

La frecuencia de cruce de ganancia es la frecuencia en la cual IC (j magnitud de la función de transferencia en lazo abierto, es unitaria). El margen de fase yes de 180 más el ángulo de fase # de la función de transferencia en lazo abierto en la frecuencia de cruce de ganancia, o

Margen de ganancia: el margen de ganancia es el recíproco de la magnitud IC en la frecuencia a la cual

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