ESTUDIO DE LA DIMESIÓN FRACTAL

                                                       ESTUDIO DE LA DIMESIÓN FRACTAL

RESUMEN

En este informe se presentan los resultados obtenidos en el experimento de medición de la dimensión  fractal, el cual se realizó en tres sesiones del laboratorio integrado de física, el cual tuvo por objetivos estudiar como un objeto ocupa una porción de espacio métrico en el que está situado, analizar para qué tipo de formas irregulares se debe utilizar la dimensión fractal y examinar la diferencia entre una dimensión topológica y una dimensión fractal. Objetivos que mediante el análisis y toma de datos de unas esferas de acero y bolas de papel se lograron fijar.

INTRODUCCIÓN

El término fractal se introdujo por primera vez por el matemático Benoít Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus que significa quebrado o fracturado, Es una figura geométrica que puede ser espacial o plana formada por componentes infinitos y su principal característica es que su apariencia posee detalles de similitud en cualquier escala de observación.  El objetivo principal fue encontrar una geometría para poder describir lo irregular, evitar la deducción como herramienta y conocer un cálculo matemático que pudiera llegar a la aproximación de longitud de estas figuras que cuentan con infinidad de vértices.
Por medio de una práctica experimental se desea comprender que es un fractal, cuales características tiene de reconocimiento y como es posible medirlo utilizando una figura regular, como bolas de acero y una figura irregular, como bolas de papel.  

Palabras clave: Dimensión, Fractal, Dimensión topológica, Auto-similitud, Medición, Lagunaridad.

METODOLOGÍA

Utilizando diferentes implementos como papel, regla, balanza electrónica, un calibrador y 6 esferas de acero de diferentes diámetros, se procedió a determinar la medición de una dimensión fractal, su presencia en la naturaleza y los cálculos matemáticos relacionados a este hecho.

Se comenzó por medir con el calibrador (pie de rey)  el diámetro de las cinco esferas de acero y la medida de su masa utilizando la balanza electrónica, con estos datos se desarrolló una tabla en donde se obtuvo el promedio de los diámetros de las esferas producto de la medición de diferentes direcciones del grosor de las bolas, seguidamente se comenzó el trabajo con las bolas de papel comprimido manualmente, a partir de hojas de papel lisas con unidades de masa asignadas de 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64 las cuales se asignaron arbitrariamente en relación a su tamaño. Se observó que tales bolas no tomaban una forma totalmente esférica por lo que para efectos del experimento se consideraron como si lo fueran, con la intención de medir la dimensión fractal de las esferas de papel comprimido.

MARCO TEÓRICO

La dimensión fractal ¨d¨ de un objeto es un número que dice cuan densamente tal objeto ocupa el espacio métrico en el cual está situado, donde esta dimensión fractal es mayor a la dimensión topológica.

Para figuras geométricas esféricas homogéneas de densidad , diámetro D, masa m y volumen V, se puede comprobar que[pic 1]

               Tal que            [pic 2][pic 3]

Observando la ecuación (2) es claro que existe la relación alométrica

        [pic 4]

Donde D es el diámetro de la esfera, d es la dimensión fractal, m es la masa del objeto y k es la constante de proporcionalidad entre el diámetro y la masa llamada lagunaridad.

RESULTADOS

En las siguientes tablas se muestran todos los datos obtenidos en el experimento.

[pic 5]

Tabla 1. Datos tomados  de las esferas de acero

Para las esferas de acero utilizamos un procedimiento adicional para confirmar el valor de la “incertidumbre”

Para cada una, hallamos su desviación estándar y se tomó el valor que cumpliera estas condiciones:

1. Si Desviación < “Error del instrumento”, se tenía en cuenta el error del “Instrumento”
2. Si Desviación > “Error del instrumento”, se realizaba el cambio y se tomaba la desviación como “Incertidumbre”

Pero como conclusión a la hora de realizar los cálculos, para cada una de las esferas su desviación era menor que el “Error del instrumento”, es decir que como incertidumbre se tomó (±0.05mm).

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