Ecuaciones Diferenciales y Método de Euler
melinantontonPráctica o problema2 de Mayo de 2022
648 Palabras (3 Páginas)177 Visitas
Ecuaciones Diferenciales y Método de Euler
Sistema masa resorte. Supongamos que una masa [pic 1] está sujeta a un resorte y oscila en presencia de rozamiento el cual actúa como un amortiguador del movimiento, esto se muestra en la siguiente figura:
[pic 2]
Donde:
[pic 3]La posición de la masa con respecto al punto de equilibrio en el tiempo [pic 4]
[pic 5]La velocidad de la masa en el tiempo [pic 6]
Sabemos que la Ley de Hooke establece que la fuerza de restitución del resorte es proporcional a la posición de la masa, esto es:
[pic 7] donde [pic 8] es una constante que depende del resorte
Además, el rozamiento actúa con una fuerza que es proporcional a la velocidad de la masa, esto se escribe como:
[pic 9] donde [pic 10] es una constante que depende de los materiales en contacto
- Explica por qué:
[pic 11]
O bien:
[pic 12] = [pic 13]
Donde: [pic 14] y [pic 15].
Lo que se ha obtenido es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: La posición [pic 16] de la masa y su velocidad [pic 17].
- Usa el Método de Euler con [pic 18] para obtener las gráficas de [pic 19] y [pic 20] desde el tiempo [pic 21] hasta [pic 22] para los siguientes casos:
- [pic 23], [pic 24] sujeto a las condiciones iniciales [pic 25] y [pic 26]
- [pic 27], [pic 28] sujeto a las condiciones iniciales [pic 29] y [pic 30]
Describe brevemente la manera en que oscila la masa.
Oscilación de un péndulo. Supongamos que una masa [pic 31] cuelga de una cuerda de longitud [pic 32] y se pone a oscilar desde el reposo y con una amplitud inicial de [pic 33], tal y como se muestra en la siguiente figura:
[pic 34]
Se desea determinar el tiempo [pic 35] que tarda el péndulo para realizar una oscilación completa.
Establecimiento del modelo. De acuerdo a la segunda ley de Newton tenemos que
[pic 36]
Donde [pic 37] es el torque, [pic 38] es el momento de inercia y [pic 39] es la aceleración angular. Ya que la componente de la fuerza que produce movimiento es [pic 40] y el momento de inercia de una masa puntual a una longitud [pic 41]es [pic 42]entonces:
[pic 43]
De donde se obtiene:
[pic 44]
O de manera equivalente:
[pic 45]
Este problema puede ser abordado mediante el método de Euler.
Solución del problema del péndulo haciendo uso del Método de Euler.
Para resolver este problema con el Método de Euler se requiere transformar el modelo obtenido a dos en donde aparezcan las razones de cambio de las magnitudes que se desean analizar, esto es:
[pic 46]
[pic 47]
Y posteriormente construir tablas de valores y las gráficas de [pic 48] y [pic 49] aplicando el proceso de Euler, esto es:
...