Unidad 1 Ecuaciones Diferenciales

1.1 Teoría Preliminar

En esta unidad se describe la definición de una ecuación diferencial, su origen y la solución, para comprender los problemas matemáticos en los cuales se ven implicadas las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales tienen una relación con fenómenos físicos, químicos, eléctricos, etcétera, los cuales han requerido una explicación de forma matemática.

El alumno aprenderá que las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad, conceptos esenciales que le ayudarán a plantear problemas con diferente grado de dificultad.

El estudio de las Ecuaciones Diferenciales se enfoca en modelar situaciones de la vida cotidiana de forma matemática. Previo a este curso de Ecuaciones Diferenciales el estudiante tendrá que dominar las áreas del cálculo diferencial e integral, mismas que le facilitaran el desarrollo de la aplicación de los métodos de solución de las ecuaciones.

El curso parte desde cero en el estudio de las ecuaciones diferenciales, en la primera unidad se aborda la definición de ecuación diferencial para no crear ambigüedades en la construcción del conocimiento del estudiante, se retoma los momentos históricos del desarrollo de las ecuaciones diferenciales desde Arquímedes hasta Newton.

1.1.1Definiciones (Ecuación, diferencial, orden, grado, linealidad).

Ecuación diferencial:

1.- Es la relación entre variables expresadas mediante una igualdad. 2.- También se define como aquella ecuación que contiene algunos términos diferenciales. Estos son los diferenciales de la función que contiene la variable dependiente de la ecuación diferencial dada. Contiene también una o varias variables independientes.

Orden de una ecuación diferencial:

1.- El orden más alto de cualquiera de los diferenciales en la ecuación diferencial dada es el orden de la ecuación diferencial. 2.- El orden de la derivada más alta de la ecuación es lo que se llama orden, por ejemplo:

Grado de una ecuación diferencial: 1.- El grado más alto de cualquiera de los diferenciales en la ecuación diferencial dada es el grado de la ecuación diferencial. 2.- Se clasifican de primer grado, segundo grado, etc.; lo determina la potencia de a derivada mayor.

Ecuación diferencial lineal: 1.- Una ecuación diferencial que no contiene términos como producto de la función indefinida ni los del diferencial de la función indefinida se llama ecuación diferencial lineal. Manteniéndola recta, todos los términos coeficientes son funciones que contienen variables aumentadas. 2.- se caracteriza por dos propiedades:

1.- El grado de la variable independiente y sus derivadas es 1, esto es, él exponente de cada una es

2.- El coeficiente de la variable dependiente y de sus derivadas solo depende de la variable independiente.

1. 1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales

1.1.3 Problema del valor inicial

Definición:

Un problema de valor inicial de la ecuación diferencial de n-énesimo orden: ,

consiste en encontrar una solución de dicha ecuación diferencial en un intervalo I, que satisfaga en el punto de I, las n condiciones siguientes:

.

.

.

EJEMPLOS:

1. Demostrar que la función

es solución del siguiente problema del valor inicial:

y (0) = -1

y`(0) = 1

i.-) (C0)

donde:

Sustituyendo en (C0)

Por lo tanto la función es solución de la ecuación

ii.-)

...