Ecuaciones Diferenciales

Introducción

Durante el desarrollo de la unidad se aprenderán a solucionar ecuaciones diferenciales, pero para esto es muy indispensable conocer con el tipo de ecuación con la cual se está trabajando, pues estas se clasifican según por su tipo, orden y linealidad.

Además es muy importante conocer los diversos métodos de resolución existentes para poder desarrollar las soluciones de manera correcta y eficaz.

1.1 Definiciones y terminología de las ecuaciones diferenciales

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.

Clasificación por Tipo:

Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO):

Ejemplo:

Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP)

Ejemplo:

En estos estos ejemplos se nota que existen más de dos variables independientes, contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente.

Clasificación según el orden:

El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación:

Por ejemplo:

a) Esta ecuación es de orden 2, no debe confundirse con el exponente 3 que esta definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.

b) y'''+ 3y'' - 3y' - y = 0 es una ecuación de orden 3.

c) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y' = dy/dx.

Clasificación según la Linealidad:

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y',..., y(n)) = 0 es:

En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que:

La variable dependiente "y" y todas sus derivadas y', y'',..., y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,..., an dependen solo de la variable x.

Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tiene las siguientes:

a) y''+xy'-3y=e2x , b) y''' + y'' + y = 0, c) (1-x) y'' - 4xy' + 5y = cos x

Los ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos:

a) (1-y) y'' - 2y= ex, es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y'' también depende de y.

b) y'' + sen y = 0 Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y

c) y'' + y2 = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y es 2, y no 1 para que sea lineal.

d) (y''')3 + xy''

...