Ecuaciones Diferenciales

Introducción

Durante el desarrollo de la unidad se aprenderán a solucionar ecuaciones diferenciales, pero para esto es muy indispensable conocer con el tipo de ecuación con la cual se está trabajando, pues estas se clasifican según por su tipo, orden y linealidad.

Además es muy importante conocer los diversos métodos de resolución existentes para poder desarrollar las soluciones de manera correcta y eficaz.

1.1 Definiciones y terminología de las ecuaciones diferenciales

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.

Clasificación por Tipo:

Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO):

Ejemplo:

Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP)

Ejemplo:

En estos estos ejemplos se nota que existen más de dos variables independientes, contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente.

Clasificación según el orden:

El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación:

Por ejemplo:

a) Esta ecuación es de orden 2, no debe confundirse con el exponente 3 que esta definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.

b) y'''+ 3y'' - 3y' - y = 0 es una ecuación de orden 3.

c) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y' = dy/dx.

Clasificación según la Linealidad:

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y',..., y(n)) = 0 es:

En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que:

La variable dependiente "y" y todas sus derivadas y', y'',..., y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,..., an dependen solo de la variable x.

Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tiene las siguientes:

a) y''+xy'-3y=e2x , b) y''' + y'' + y = 0, c) (1-x) y'' - 4xy' + 5y = cos x

Los ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos:

a) (1-y) y'' - 2y= ex, es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y'' también depende de y.

b) y'' + sen y = 0 Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y

c) y'' + y2 = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y es 2, y no 1 para que sea lineal.

d) (y''')3 + xy'' - 3y = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y''' es 3 y para ser lineal debe ser 1.

1.2 Teorema de existencia y unicidad

El teorema de existencia y unicidad es una extensión del problema con valor inicial. Este teorema afirma que existe una solución para los pre-requisitos iniciales provistos de la ecuación diferencial y la solución obtenida, es de hecho, una solución única.

Imagina una función valorada real f(p, q), cuyo valor es constante para un rectángulo definido por la ecuación,

Ahora supongamos que el diferencial

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