Ecuaciones Diferenciales
Enviado por • 29 de Enero de 2013 • 407 Palabras (2 Páginas) • 279 Visitas
TRANSFORMADA DE LAPLACE (MAPA CONCEPTUAL)
Definición de la Transformada
Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f (t) se define como
cuando tal integral converge
- La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante
- La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s
Definición de la Transformada Inversa
La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir
Si es que acaso
Esta definición obliga a que se cumpla:
Y
Tabla de Transformadas Funciones básicas e inversas.
1. Obtención
2. Obtención
3. Obtención
4. Obtención Para n entero
:
5. Obtención Para
Nota sobre la función Gamma.
6. Obtención Para s > a
7. Obtención
8. Obtención
9. Obtención
10. Obtención
Propiedades de la Transformada
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f (t) y g (t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Linealidad
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.
Versión para la inversa:
Primer Teorema de Traslación
Donde
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.
Versión para la inversa:
Teorema de la transformada de la derivada
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.
Teorema de la transformada de la integral
Teorema de la Convolución
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
Función de Orden Exponencial
Una función f (t) se dice de orden exponencial si acaso existe una constante positiva M y un número T que cumplan:
Lo que establece la condición es que la función f (t) no crece mas rápido que la función exponencial en el intervalo
Transformada Inversa de Laplace:
La clave está en el denominador. Lo que debe de hacerse depende centralmente de él. Primeramente se factoriza y dependiendo del resultado se procede. Estos son algunos de los casos importantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ejemplo
Determine:
Solución
Distribuimos primeramente el denominador:
Usando la propiedad de linealidad tenemos:
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
Por tanto:
...