ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 , en donde las derivadas parciales de las funciones M y N son iguales. Esto equivale a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que:

Y al mismo tiempo se cumple que:

y

Dado que F(x,y) es una función diferenciable entonces las derivadas mixtas deben ser iguales y esta es la condición:

.

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

1.Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

2.Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

3.Para despejar la función g se deriva f(x,y) con respecto a la variable independiente de g.

4.Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.

5. Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general f(x,y).

Si una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la multiplica por una función especial µ(x,y) llamada factor integrante, tal que:

Sea exacta

Ejemplo 1.

sea la función diferencial:

Solución

Para ver que esta ecuación diferencial es de diferenciales exactas hacemos:

Y tenemos:

Siendo cierto que la ecuación es del tipo de diferenciales exactas, podemos calcular con facilidad la función integral:

Para conocer el valor de la función φ(x) derivamos U(x, y) respecto de y, e igualamos el resultado a Q:

Así pues, la solución general de la ecuación diferencial estudiada será:

Ejemplo 2.- sea la función diferencial:

Solución

Para ver si es diferencial exacta hacemos:

Puesto que se verifica la condición necesaria y suficiente, podemos poner:

E integrando:

Derivando ahora respecto de y e igualando a Q:

Con lo que la solución general de la ecuación será:

Ejemplo 3.- sea la función diferencial:

Solución.

Operando como en los casos anteriores se comprueba que esta ecuación no es una ecuación diferencial exacta, no obstante, si multiplicamos todos los términos por 1/xy2 nos queda:

Con lo que obtenemos una ecuación diferencial que si cumple las condiciones de ser diferencial exacta y a la que podemos aplicarle el método que estamos desarrollando:

Derivando respecto de y e igualando a Q:

Y de esa forma, la solución general será:

Que es válida para todos los puntos en los que se cumpla que x e y son distintos de 0.

Aparte de la solución general, podemos ver que existe una solución singular para el caso y = 0 ó x = 0 ya que entonces la ecuación se verifica trivialmente.

El término 1/xy2 recibe el nombre de factor integrante y resulta fácil comprobar que, en general, introduce soluciones singulares en los casos en los que se opera con él.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Una

...