ECUACIONES DIFERENCIALES

Representar los siguientes conjuntos de R2 e indicar cuáles son convexos:

S_1={(x,y)∈R^2⁄x^2 +y^2≤4}

Definimos y representamos la expresión:

x^2+y^2=4

Tomamos el punto (1,1) y comprobamos si se verifica la desigualdad:

■(1^2+1^2≤4@1≤4)

Por tanto el conjunto se situa dentro de la circunferencia de radio 2.

El conjunto es convexo pues el segmento que une cualquier par de puntos del conjunto, está contenido dentro del mismo.

S_2={(x,y)∈R^2⁄x^2 +y^2≥4}

Definimos y representamos la expresión:

x^2+y^2=4

Tomamos el punto (1,1) y comprobamos si se verifica la desigualdad:

■(1^2+1^2≥4@1≥4)

Como la desigualdad no se verifica, el conjunto se situa fuera de la circunferencia de radio 2.

El conjunto no es convexo pues como se ve en la gráfica existen segmentos que unen pares de puntos del conjunto, que no están contenidos dentro del mismo.

S_3={(x,y)∈R^2⁄x+2y≤0}

Definimos y representamos la expresión:

x+2y=0

Tomamos el punto (1,1) y comprobamos si se verifica la desigualdad:

■(1+2(1)≤0@3≤0)

Como la desigualdad no se verifica, el conjunto se situa por debajo de la recta x+2y=0.

El conjunto es convexo pues el segmento que une cualquier par de puntos del conjunto, está contenido dentro del mismo.

R2

Como el conjunto hace referencia al conjunto de los numeros Reales, cualquier punto estará contenido dentro del conjunto, y a su vez cualquier segmento que una un par de puntos estará contenido dentro del mismo.

S_4={(x,y)∈R^2⁄(x≥0,) y≥0}

Definimos y representamos las expresiónes:

■(x=0@y=0)

Tomamos el punto (1,1) y comprobamos si se verifican las desigualdades:

■(x≥0@1≥0)

■(y≥0@1≥0)

Como las desigualdades se verifica, el conjunto se situa a la derecha de la recta x=0 y por encima de la recta y=0.

El conjunto es convexo pues el segmento que une cualquier par de puntos del conjunto, está contenido dentro del mismo.

S_5={(x,y)∈R^2⁄(1≤) x^2+y^2≤5}

Definimos y representamos las expresiónes:

■(x^2+y^2=1@x^2+y^2=5)

Las gráficas corresponden a una circunferencia de radio 1 y otra de radio √5.

Tomamos el punto (0,0) y comprobamos si se verifican las desigualdades:

■(〖1≤x〗^2+y^2@〖1≤0〗^2+0^2@1≤0)

Como no se cumple esta desigualdad quiere decir que el conjnto está por fuera de la circunferencia de radio 1.

■(x^2+y^2≤5@0^2+0^2≤5@0≤5)

Como se cumple esta desigualdad quiere decir que el conjunto

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