Ecuaciones Diferenciales

PROBLEMA

Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de publicidad a una población de 1 millón de clientes potenciales. La velocidad a la que la población se entera del producto se supone que es proporcional al número de personas que todavía no son conscientes del producto. Al final de un año, la mitad de la población ha oído hablar del producto. ¿Cuántos han oído hablar de él por el final de 2 años?

SOLUCIÓN

En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:

y : es el número en millones de personas (clientes potenciales).

t : tiempo que han oído hablar del producto.

(1-Y): es el número de personas que no han oído de este.

dy : la velocidad a la que la población conoce sobre el producto.

dt

En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.

dy = k (1- y) Ecuación Diferencial

dt

Para resolver la ecuación diferencial:

1. Separamos las variables:

dy = k (1 - y) dt Forma Diferencial

dy = k dt

(1 - y)

2. Integramos a ambos lados de la igualdad.

ʃ dy = ʃ k dt

(1 - y)

- ln ǀ1 - yǀ = kt + C1

Ln |1 - y | = - kt + C1 Multiplicamos por -1

1 – y = ℮^- kt + C1 Aplicamos propiedad de los logaritmos y asumimos que y < 1

Y = 1 - C℮^(- kt)

Para el cálculo de la solución particular se debe aplicar las condiciones iniciales del problema a la solución general, es decir:

y

...