Ecuaciones de Maxwell (Forma Diferencial e Integral)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL[pic 1][pic 2]

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Culhuacán

ECUACIONES DE MAXWELL Y TRANSFORMADORES

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

NOMBRES:

Aguilar Cortez Francisco Xavier

Garibay Rufino Eddie Isaac

López Hernández Guillermo

Martínez Vera Eduardo

Ordaz Pacindo Diego Alberto

GRUPO: 2EV6

FECHA: 03 – Julio - 2015

PROFESOR: Ing. Maciel Reyes Ricardo

LEY DE AMPERE – MAXWELL

Considere un cuadro infinitesimal con las siguientes características:[pic 3]

Aplicaremos la Ley de Ampere en forma generalizada

[pic 4]

Ya que la corriente pasa por los 4 puntos (PQRS), podemos descomponer las integrales

[pic 5]

Tomamos la integral paralela al eje Y, y como sabemos, ese vector lo podemos hallar por medio del vector unitario y la diferencial de ese vector

[pic 6]

De manera análoga para -Y

[pic 7]

Sumamos los dos anteriores resultados

[pic 8]

Ya que esa corriente pasó temporalmente por el eje X, podemos derivar parcialmente con respecto a este eje.

[pic 9]

Sustituimos en la suma de ambas integrales

[pic 10]

De manera análoga, pero en el eje X, tenemos lo siguiente:

[pic 11]

Si sumamos todos los resultados, podemos darnos cuenta que nos queda parte de un Rotacional

[pic 12]

La diferencial de Intensidad de corriente la podemos expresar en términos de Densidad de Corriente

[pic 13]

Sustituimos la Densidad de Corriente en la Ley de Ampere y juntando el resultado anterior

[pic 14]

Se eliminan las “dxdy” y de manera análoga, si colocamos el mismo cuadro pero en los ejes XZ y YZ, obtendremos lo siguiente

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Si sumamos todos los resultados anteriores, obtendremos la siguiente expresión

[pic 18]

Sabemos que la expresión “jxyz” es un vector unitario de las expresiones anteriores, por consecuente tendremos:

[pic 19]

La forma que adquiere la ecuación, corresponde a la forma de una expresión Rotacional, por lo tanto, lo escribimos con el Operador Nabla

[pic 20]

Cuando Maxwell estudió esta ley, identificó que la ley sólo se cumplía en corrientes estacionarias, así que introdujo su “Corriente de Desplazamiento” para así considerar una corriente generada a través del conductor. Por lo tanto, la expresión quedaría como:

[pic 21]

Si integramos ambas partes de la ecuación con respecto a una superficie

[pic 22]

En el lado izquierdo, consideramos el Teorema de Kelvin – Stokes y finalmente nos queda la expresión en forma integral

[pic 23]

[pic 24]

LEY DE FARADAY

Consideramos la ley de Faraday en forma generalizada a partir del cambio del flujo magnético cambiante a través del tiempo

[pic 25]

Si escribimos el flujo eléctrico en su forma integral: [pic 26][pic 27]

[pic 28]

Sabemos que si existe una Fuerza Electromotriz (FEM), existe un campo eléctrico a lo largo del conductor

[pic 29]

Sustituimos la expresión anterior en la ecuación de Faraday y finalmente conseguimos la forma integral de la ecuación

[pic 30]

Si aplicamos el Teorema de Stokes a la parte izquierda de la ecuación y además sustituimos las derivadas por derivadas parciales indicando que se trabaja bajo un circuito fijo, cerrado y no cambiante, obtendremos la expresión:

[pic 31]

Sabemos que E y B son constantes, por lo tanto, salen de las integrales y como tenemos “s” en ambos lados, los eliminamos de la ecuación

[pic 32]

Finalmente nos queda la forma diferencial de la Ley de Faraday

[pic 34][pic 33]

LEY DE GAUSS PARA CAMPO ELÉCTRICO

Se parte de la ecuación de Gauss en forma generalizada

[pic 35]

Si consideramos a la carga en su forma de densidad de carga por unidad de volumen

[pic 36]

Sustituimos esta expresión en la ecuación original y además, integramos al lado izquierdo de la expresión limitándola al volumen, obtendremos la forma integral de la Ley de Gauss para E

[pic 37]

Si a la expresión anterior le aplicamos el Teorema de Divergencia de Gauss, obtendremos la ecuación:

[pic 38]

Sabemos que E y la densidad de carga son constantes, por lo tanto, salen de la integral

[pic 39]

Finalmente queda la Ley de Gauss en forma Diferencial

[pic 40]

[pic 41]

Ley de Gauss para Campo Magnético

Partimos de la Ley de Biot-Savart

[pic 42]

Considerando que el Campo Magnético es igual al Rotacional del Campo Magnético en algún punto a una distancia de un alambre con corriente:

[pic 43]

Si le aplicamos la Divergencia a ambos lados de la ecuación, podremos eliminar el lado derecho de la ecuación

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