Ecuación diferencial

Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

 Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

 Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Contenido

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• 1 Introducción

o 1.1 Orden de la ecuación

o 1.2 Grado de la ecuación

o 1.3 Ecuación diferencial lineal

o 1.4 Usos

• 2 Solución de una ecuación diferencial

o 2.1 Tipos de soluciones

o 2.2 Resolución de algunas ecuaciones

• 3 Véase también

• 4 Bibliografía

• 5 Enlaces externos

[editar]Introducción

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

 es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable independiente es la derivada de con respecto a .

 La expresión es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, latransformada de Laplace).

[editar]Orden de la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación

[editar]Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

[editar]Ecuación diferencial lineal

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:

 Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

 En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

 Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.

 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

[editar]Usos

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

 En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

 La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

[editar]Solución de una ecuación diferencial

[editar]Tipos de soluciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

[editar]Resolución de algunas ecuaciones

 Ecuación diferencial de primer orden

 Ecuación diferencial lineal

 Ecuación diferencial exacta

 Ecuación de Jacobi

 Ecuación de Clairaut

[editar]Véase también

 Función diferenciable

 Historia de las ecuaciones diferenciales

[editar]Bibliografía

 Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamérica

 José Ignacio Aranda Iriarte (2007). apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid.

 José Ignacio Aranda Iriarte (2008). apuntes de ecuaciones diferenciales II (EDPs). Universidad Complutense de Madrid.

[editar]Enlaces externos

 Soluciones exactas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

 Soluciones exactas de Ecuaciones Diferenciales Lineales en derivadas parciales

 Programa para resolver Ecuaciones diferenciales ordinarias escrito en Matlab

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

(Redirigido desde Ecuación diferencial de primer orden)

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria dónde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

(1a)

o en su forma implícita:

(1b)

Contenido

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• 1 Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden

o 1.1 Ecuaciones de variables separables

o 1.2 Ecuaciones homogéneas

o 1.3 Ecuaciones lineales de primer orden

o 1.4 Ecuación diferencial de Bernoulli

• 2 Véase también

[editar]Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden

[editar]Ecuaciones de variables separables

Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:

(2a)

se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integraren cada miembro:

(2b)

[editar]Ecuaciones homogéneas

Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:

sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por x3 o y3 en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:

o bien

Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha establecido.

El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

(3a)

introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

(3b)

[editar]Ecuaciones lineales de primer orden

La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

(4a)

Y la solución de la misma viene dada por:

(4b)

[editar]Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquella que tiene la forma:

(5a)

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1 viene dada por:

(5b)

Ecuación diferencial lineal

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:

O usando otra notación frecuente:

Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para denotar el operador

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