Una ecuación diferencial (ED)

Una ecuación diferencial (ED) es aquella ecuación en donde se relacionan variables independientes, variables dependientes y derivadas totales o parciales.

Las ecuaciones diferenciales son útiles en prácticamente todas las áreas de conocimiento, porque permiten describir mediante modelos situaciones parecidas a la realidad. Algo común a todas las ecuaciones diferenciales es que representan cambios (cambios en la relación entre las variables (derivadas) o cambios en condiciones).

Ejemplos de problemas que se pueden modelar y resolver utilizando ecuaciones diferenciales:

Cantidad de medicamento que se debe administrar a un enfermo, de acuerdo a la evolución de su enfermedad.

Pago mensual que se tendrá que hacer para liquidar un préstamo (por ejemplo hipotecario), a partir de la tasa de interés, el plazo y el monto solicitado.

Cantidad de catalizador que requiere una sustancia para realizar de forma más eficiente un proceso.

Tiempo de retraso entre las oscilaciones de las temperaturas diarias en el interior y exterior.

Migración de una especie en peligro hacia otro sitio ante un siniestro (inundación, incendio, terremoto).

La existencia o extinción de especies que compiten por un espacio, alimento, hábitat en un tiempo determinado.

Para poder construir una ecuación diferencial (ED), es necesario conocer los tipos de ecuaciones diferenciales que existen y su clasificación.

Uno de los objetivos del Módulo 1 de este curso será clasificar correctamente la ED, para que a partir de su tipo, orden y linealidad se aplique el método correcto y se pueda resolver.

Tema 1: Conceptos básicos

Se puede entender mejor lo que es una ecuación diferencial si conocemos algunas de sus aplicaciones con más profundidad. Se revisará de forma breve el modelo de enfriamiento de Newton y el modelo de caída libre, con el fin de construir el lenguaje que requerimos y generar los conceptos necesarios.

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Ejemplo 1 Ejemplo 2

Los dos ejemplos anteriores nos sirvieron para extraer un par de ideas respecto a las ecuaciones diferenciales:

Leyes físicas que involucran cantidades como velocidad, aceleración, tiempo se podrán enunciar mediante una ecuación diferencial.

Un modelo es la representación mediante una ecuación diferencial de un fenómeno, y relaciona la variable de interés con una o más de sus derivadas.

Ya que se ha construido el modelo se puede obtener una solución particular a partir de condiciones dadas en el experimento llamadas condiciones iniciales (cuando t = 0) o condiciones a la frontera (si t ≠ 0).

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.

Tipo:

Ordinaria

Parcial

La ecuación diferencial ordinaria (EDO) es aquella que tiene una variable dependiente y una variable independiente.

La ecuación diferencial parcial (EDP) es aquella que tiene una variable independiente y varias variables dependientes. A la derivada parcial se le asocia un símbolo , que nos permite distinguir el tipo de derivada.

Orden: es el valor de la máxima derivada que tiene una ecuación diferencial.

Linealidad: una ecuación diferencial es lineal si puede escribirse de la forma:

Es decir, la variable dependiente y las derivadas no tienen potencia o producto entre ellas.

es una EDO de orden 2, lineal.

es una EDP de orden 2, lineal.

es una EDO de orden 1, no lineal (primer término).

es una EDP de orden 2, no lineal (primer término).

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Si tenemos la ecuación 4x – 2 = 0, resolver la ecuación significa encontrar todos los valores de x que satisfacen la ecuación. Estos se encontrarán en x = ½, ya que al sustituir el valor x = ½ en la ecuación 4(1/2) – 2 = 0 obtenemos 0=0, que significa que el valor encontrado es solución de la ecuación.

En forma similar podemos hacer pruebas para determinar si una función es solución de la ecuación diferencial correspondiente.

Ejemplo:

Verificar si y = 2e3x + 1 es solución de la ecuación diferencial

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