Ecuaciones diferenciales
Enviado por Harvin Jose Pacheco Covelli • 9 de Abril de 2020 • Apuntes • 349 Palabras (2 Páginas) • 143 Visitas
- Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. . Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial son:[pic 1][pic 2][pic 3]
- Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da [pic 4]
- Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da [pic 5]
- Soluciones iguales y reales cuya solución da + [pic 6][pic 7]
- Soluciones distintas y reales cuya solución da + [pic 8][pic 9]
[pic 10]
Por ser una ecuación diferencial homogénea de segundo orden de coeficientes constantes, se propondrá la siguiente solución:
Se propone:
[pic 11]
Donde r es una constante, un número real:
Derivando esta expresión:
[pic 12]
Realizando una segunda derivada:
[pic 13]
Ahora, reemplazando estas soluciones en la ecuación diferencial:
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Factor común:
[pic 17]
[pic 18]
Por el teorema de factor nulo:
[pic 19]
[pic 20]
Esta última solución no es una tautología porque este tipo de expresión nunca dará como resultado cero, por lo tanto, queda descartada.
Se tomará a:
[pic 21]
[pic 22]
Esta expresión se puede factorizar con la formula cuadrática, pero haciendo uso de otro método de factorización se llega al mismo resultado que el de la formula cuadrática:
[pic 23]
El 3 se puede descomponer como 2+1, es decir se rescribe como:
[pic 24]
Se agrupa y se factoriza:
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
La expresión original queda factorizada de la siguiente manera:
[pic 28]
Despejando r:
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
El radical se cancela con el exponente:
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
Dentro del radical hay un número negativo, esto conduce a trabajar con números imaginarios, por lo tanto:
[pic 36]
Se puede observar que esta expresión es igual a la definición de los números complejos, lo cual dice que un número complejo está compuesto por una parte real y otra imaginaria (a: real, bi: imaginaria):
[pic 37]
Para poder introducir esta solución compleja como una solución general de la ecuación diferencial, es necesario utilizar una expresión adicional que se deriva de la fórmula de Euler:
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