ECUACIONES DIFERENCIALES

[pic 1]

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGON

APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ELABORADOS POR LOS ALUMNOS DEL PROFESOR CLEMENTE CASTILLEJA SALAS

MÉXICO, D.F.                                                                           FEBRERO 2020

ECUACIONES DIFERENCIALES

Definiciones basicas.        1

1.        Ecuaciones difrenciales de primer orden.        1

Descomposición del radio.        1

1.1.        Separación de variables.        3

1.2.        Simple sustitución        5

1.3.        Ecuaciones homogéneas.        7

1.4.        Ecuaciones diferenciales exactas.        11

1.5.        Ecuaciones diferenciales lineales.        13

2.        Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.        16

2.1.        Operador “D”.        16

2.2.        Ecuación con raíces reales y diferentes.        19

2.3.        Ecuación con raíces reales e iguales.        23

2.4.        Ecuación con raíces complejas.        26

2.5.        Ecuación diferencial lineal no homogénea.        28

2.5.1.        Metodo de coeficientes indeterminados.        28

2.6.        Aplicaciónes ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.        34

2.6.1.        Leyes de Kirchhoff.        34

3.        Transformada de Laplace        37

3.1.        Definición        37

3.2.        Transformada inversa de Laplace        38

3.3.        Tabla de transformadas.        39

3.4.        Transformadas de derivadas        41

3.5.        Resolución de ecuaciones diferenciales mediante transformadas.        42

3.6.        Transformada inversa por fracciones parciales.        43

4.        Sistemas de ecuaciones diferenciales        49

4.1.        Operaciones con matrices        49

4.2.        Sistemas lineales de primer orden.        54

4.3.        El método del eigenvalor para sistemas homogéneos.        59

4.3.1.        Eigenvalores reales distintos. Ejemplo tanques.        64

4.3.2.        Eigenvalores complejos. Ejemplo tanques.        67

5.        Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.        71

5.1.        Ecuación en una dimensión de calor.        71

Definiciones basicas.

• ¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es una ecuacion matematica que relaciona una función con sus derivadas.

• Orden de una ecuación diferencial.

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales). - Es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

• Grado de una ecuación diferencial.

Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial.

1. Ecuaciones difrenciales de primer orden.

Descomposición del radio.

Ejemplo. El radio se descompone en forma proporcional a la cantidad de radio existente en un momento determinado.

1. Formular una ecuación diferencial que describa el proceso.

[pic 2]

[pic 3]

1. Resolver la ecuación diferencial obtenida.

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

1. Considerar lo siguiente:

En  se Tienen  de radio. Determinar la solución particular respectiva.[pic 11][pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

1. Considerar ahora lo siguiente

Si  años después los  de radio se transforman en . Determinar la constante técnica o física  correspondiente.[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Nota:   medirlo en siglos.[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

A continuación, se muestra una tabla con su respectivo grafico en la cual podemos apreciar como decae el porcentaje del radio a través de los años.

1. Separación de variables.

En la ecuación diferencial

[pic 25]

Cada parte tiene una interpretación numerica definida. Sin embargo, por conveniencia y por su forma sugeridora, como se puede comprobar mas abajo en (4), la expresión (1) se escribe con frecuencia en la forma diferencial

[pic 26]

Para aclarar el problema de encontrar la solución general de una ecuación diferencial dada, consideremos un tipo del primer orden y primer grado que facilmente se pueda poner en la forma

[pic 27]

Donde  sea una función de  solamente, y  lo sea solamente de . En una ecuación de este tipo se dice que se ha logrado la separación de variables. La integración directa de la ecuación (3) proporciona la solución general[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32]

Donde  es una constante arbitraria. Es evidente que la ecuación (3) se puede deducir derivando la (4), incluso si se hubiese escrito una función de  en vez de . De aquí que se pueda poner o cualquier otra función de  en lugar de , con objeto de obtener una solución que tenga la forma mas sencilla.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de las curvas para las que se verifica

[pic 39]

Hallar también la solución de  que pase por el punto [pic 40][pic 41]

Solución. Dividiendo  por , se tiene[pic 42][pic 43]

[pic 44]

Integrando esta expresíon

[pic 45]

Ó sea

[pic 46]

Eliminando   y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos se puede escribir[pic 47]

[pic 48]

Como dos números que tienen el mismo logaritmo son iguales, se deduce

[pic 49]

Para hallar la ecuación de la curva que pasa por (1, -3), basta sustituir  por  e  por -3 en  obteniendo , de donde Sustituyendo  en  por 20 se tiene[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

...