Ecuaciones diferenciales

ISA

Ecuaciones Diferenciales.

INTRODUCCIÓN (El lenguaje para entender la naturaleza es la matemática. Galileo).

Las Ecuaciones Diferenciales, ED, se presentan en varias leyes de muchas ciencias como Física, Química, Biología y tienen un mundo de aplicaciones en la ingeniería. La razón es simple: si un actividad puede expresarse mediante una o varias razones de cambio entre las variables indicadas, entonces se pueden representar por una o varias ecuaciones diferenciales.

La derivada

representa la rapidez con la cual los valores de la variable y cambian cuando le afecta el cambio de los valores de la variable x. En los siguientes ejemplos se muestra esta situación.

Ejemplo 1. Un motor eólico gira a 100 rev/min, esta velocidad se puede representar mediante:

[1]

Donde w es la variable que representa la cantidad de revoluciones del motor con t el tiempo medido en minutos. A este tipo de expresiones aparecen derivas, por lo que es una ED.

Actividad. Proporcione los elementos que se solicitan de las siguientes ED.

ED Variables Relación/variables Derivadas/Diferenciales

Una ED ordinaria general de orden n se representa a menudo mediante:

Características de EDL

i) La variable dependiente y junto con todas sus derivadas son de 1er grado (la potencia de cada término en y es 1).

ii) Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x.

Actividad 1. Clasifique las siguientes ED según sean ordinarias o no, lineales o no, indicando su orden. Utilicen para ello, el Cuadro 1.

ED Ordinaria

o Parcial

Lineal o No

Orden

Solución de una ecuación diferencial.

Resolver una ED como la expuesta anteriormente [1], significa determinar una función w que depende del tiempo t de tal forma que la satisfaga.

Definición. Una solución de una ED es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad.

Hay tres tipos de soluciones:

Solución general

Es una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones.

Solución particular

Si fijando cualquier punto {\displaystyle P(X_{0},Y_{0})}P(a, b) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto {\displaystyle P(X_{0},Y_{0})}P(a, b), que recibe el nombre de condición inicial.

Solución singular

La solución singular es una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. Es solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.

Observaciones sobre las soluciones

Sea la EDO de orden n {\displaystyle f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots ,y'',y',y,x)=0}, es fácil verificar que la función y= f(x) es su solución. Basta calcular sus derivadas de f(x), luego reemplazarlas en la ecuación, junto con f(x) y probar que se obtiene una identidad en x.

Ejemplo 2. La función es una solución de la ED (no lineal) en I = (-?, ?).

Las soluciones de E.D.O. se presentan en forma de funciones implícitamente definidas, y a veces imposibles de expresar de manera explícita. Por ejemplo:

xy = logy + C es solución de

La más simple de todas las ecuación es {\displaystyle {\text{d}}y/{\text{d}}x=f(x)}  cuya solución es {\displaystyle y=\int {f(x)\ {\text{d}}x}+c} En algunos casos es posible resolver por métodos elementales del cálculo. Sin embargo, en otros casos, la solución analítica requiere técnicas de variable compleja o más sofisticada, como sucede con las integrales:

&

no pueden estructurase mediante un número finito de funciones elementales

Nota. Muchas ED tienen una solución importante, pero trivial. Nótese que en el último ejemplo, y = 0 también es solución.

Ejemplo 3. Las ED (de primer orden):

&

No tienen solución. ¿Por qué?

Ejemplo 4. Una planta eléctrica móvil está tirando aceite a razón 0.001 de la cantidad suministrada por minuto. Si al inicio había 4.5 litros en el depósito, ¿cuánto habrá en 3 horas?

Solución.

Tal rapidez se puede representar por la ecuación diferencial

...