Ecuaciones diferenciales

Encontrar la ecuación característica, y la solución general de la Ecuación indicar que tipo de Ecuación es:

y’’- 6y’+9y=0

para iniciar con esta ecuación primero encontremos algunas de las características que la integran.

Con ello identificamos que es de orden superior, de segundo orden.

La solución general que tenemos que ocupar es la siguiente:

[pic 1]

Con ello podemos integrar la ecuación característica:

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Integrando el sistema fundamental de soluciones

[pic 5]

Encontrar la ecuación característica, y la solución general de la siguiente Ecuación, indicar a que tipo pertenece.

y’’-2y+3y=5cosx

la presente ecuación diferencial es no homogénea de segundo orden lineal con los coeficientes constantes:

para ello cumple con las siguientes características

[pic 6]

Reescribiéndola quedaría de la siguiente manera

[pic 7]

Donde la solución general para  describiéndola como: [pic 8]

[pic 9]

Donde  es la solución para la ecuación diferencial homogénea [pic 10][pic 11]

Así mismo la  se utilizará para la solución particular que en cualquier función satisface la ecuación no homogénea. [pic 12]

Satisfaciendo y resolviendo:

 quedando de la siguiente forma: [pic 13]

[pic 14]

después de realizar cada calculo podemos integrar la solución general de [pic 15]

[pic 16]

Menciona cual es la Ecuación del Wronskiano y coloca un ejemplo que expliques paso a paso, es importante que indiques si existe dependencia lineal o no existe y concluyas de forma asertiva y clara, parte importante de este ejercicio son las conclusiones que se desarrollen.

Se ha dicho ya en el material de la unidad que la representación de la solución general de una EDO homogénea de segundo orden como combinación lineal de dos soluciones utilizando el Wronskiano será diferente de cero. Es así como dos funciones F y G son linealmente dependientes sobre un intervalo si existen dos constantes  no ambas que sean cero.[pic 17]

[pic 18]

tal es la razón que toda x en el intervalo. Se dice que las funciones F y G son linealmente independientes sobre un intervalo si no son linealmente dependientes: es decir si la ecuación se cumpliera para toda la x en el intervalo solo si [pic 19]

Ejemplos: 

1.- identificar si las funciones o linealmente dependientes, para ello verificaremos a continuación. [pic 20]

La función dadas las podemos verificar que son linealmente dependientes sobre cualquier intervalo ya que:

[pic 21]

Por ello para toda x si se eligen [pic 22]

2.- En un segundo ejemplo de las funciones  son linealmente independientes sobre cualquier intervalo: [pic 23]

[pic 24]

Con ello podemos observar que para toda x en el intervalo ese necesario demostrar que   donde integramos dos puntos  en el intervalo en donde  mismo que si se evalúa (2) en los puntos se obtendrá: [pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

Por ello el determinante de los coeficientes serían los siguientes:

[pic 29]

Lo que nos indica que el determinante es diferente de 0, mismo que se concluye que la única solución de nuestra ecuación es:

...