Ecuaciones

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

PRESENTADO POR

DAYANA CAROLINA BARRANCO GARCIA

FRANCO DE LA ROSA

VICTOR ANDRES ROYO

PRESENTADO A

HERMES LAMADRID

UNIVERSIDAD DEL  ATLÁNTICO  

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA INDUSTRIAL

2014

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION 1

OBJETIVOS2

ECUACIONES DIFERENCIALES  DE SEGUNDO ORDEN REDUCIBLES A PRIMER ORDEN 4

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 5

ECUACION DIFERENCIAL LINEAL  HOMOGÉNEA CON COEFICIENTES CONSTANTES 6

ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES. (MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS)6

CONCLUSIÓN 1

INTRODUCCION

En el presente trabajo se abordaran las ecuaciones diferenciales de segundo orden ya que representan un pilar muy importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

Estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden, además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Conocer los conceptos básicos para la solución de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. Aplicando los diferentes modelos utilizados para la resolución de los problemas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

• Reconocer una ecuación diferencial de segundo orden.

• Aplicar correctamente los distintos casos de las ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden.

• Emplear correctamente los métodos para solucionar ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de segundo orden.

• Resolver correctamente ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes.

• Solucionar ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes por el método de coeficientes indeterminados.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

1. ECUACIONES DIFERENCIALES  DE SEGUNDO ORDEN REDUCIBLES A PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es una ecuación que contiene derivadas de segundo orden; es decir, la ecuación contiene derivadas de la forma:

[pic 1]

Para resolver las ecuaciones lineales de segundo orden reducibles a primer orden consideramos los siguientes casos:

1. La ecuación diferencial de segundo orden no contiene y,  puede expresarse de la forma:

        (1)[pic 2]

 Para solucionar esta ecuación basta hacer   con lo cual [pic 3]

 
[pic 4]

[pic 5]

Al reemplazar (2) en (1), tenemos:

[pic 6]

EJEMPLO 1

[pic 7]

Sabiendo de que: y [pic 8][pic 9]

Entonces   y   [pic 10][pic 11]

Reemplazando tenemos:

[pic 12]

Aplicando ecuación de Bernaulli, primero organizando tenemos:

[pic 13]

[pic 14]

  [pic 15]

Sea  = [pic 16][pic 17]

[pic 18]

Despejando , tenemos:[pic 19]

[pic 20]

Reemplazando en términos de  en (3):[pic 21]

[pic 22]

 , multiplico la ecuación por (-)[pic 23]

[pic 24]

Estos se resuelven por factor integrante:

Sea [pic 25]

= [pic 26][pic 27]

[pic 28]

Tenemos que:

[pic 29]

Dónde: [pic 30]

[pic 31]

 [pic 32]

Pero [pic 33]

 [pic 34][pic 35]

[pic 36]

Para: [pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

 [pic 40]

1. Si la ecuación diferencial no contiene x, se puede expresar así:

[pic 41]

Hagamos  .[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Reemplazando (4) en (3), tenemos que:

 
[pic 45]

Pero    entonces:[pic 46]

  por lo tanto la ecuación 5 nos queda:[pic 47]

        [pic 48]

 .[pic 49]

EJEMPLO 2

[pic 50]

Sabiendo que:   ;    [pic 51][pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

• Si    [pic 55][pic 56][pic 57]

• Si [pic 58]

[pic 59]

 [pic 60][pic 61]

 [pic 62][pic 63]

 [pic 64][pic 65]

Pero   = [pic 66][pic 67][pic 68]

 [pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

 [pic 72][pic 73]

[pic 74]

1. La ecuación diferencial tiene la forma

      (6)[pic 75]

Hagamos     (7)[pic 76]

Derivando (7) con respecto a x tenemos:

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

Reemplazando (7) y (8) en (6), tenemos:

.[pic 83][pic 82]

EJEMPLO 3

y” = (y- [pic 84]

Sea  = u  y[pic 85]

y”=  , entonces cambiando variables:[pic 86]

(y- [pic 87][pic 88]

(y- ) dy[pic 89][pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

 [pic 95][pic 96]

[pic 97]

Pero  [pic 98]

=[pic 99][pic 100]

[pic 101]

1. La ecuación diferencial tiene la forma:

  (9)[pic 102]

Faltan , y . Entonces la ecuación (9) es un caso particular de las ecuaciones (3) y (6).  Pero esta ecuación puede resolverse también de la siguiente manera:[pic 103][pic 104]

Multiplicando ambos miembros de (9) por    y tenemos:[pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

o bien  

[pic 108]

Integrando miembro a miembro tenemos:

[pic 109]

[pic 110]

o bien  

[pic 111]

Integrando miembro a miembro tenemos:

[pic 112]

1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

La ecuación de la forma:

[pic 113]

Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

Si consideramos el caso donde   la ecuación (1) recibe el nombre de Ecuación Diferencial Lineal Homogénea, y tiene la forma: [pic 114]

[pic 115]

Si en general   la ecuación (1) recibe el nombre de Ecuación Diferencial Lineal No Homogénea. [pic 116]

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