Ejemplo De Un Docto A Priori

Equivalencia en sistemas de ecuaciones lineales en dos variables

I. Introducción

La comprensión de las ideas matemáticas requiere de la construcción de significados de los objetos matemáticos. Una manera de ir construyendo significados es a través de inducir al estudiante a que realice ciertas prácticas como predicción, anticipación, modelación y argumentación en la que objetos matemáticos bases se usan para dar paso a la generación de otro nuevos. En este proceso de construcción el estudiante debe pasar por momentos de desequilibrio, en los que se produce un conflicto con las ideas que hasta ahora conoce, esto da pie a que él ponga en juego todas las estrategias y recursos con los que cuentan, y que le permitirán con la guía del profesor la construcción de nuevas ideas matemáticas.

Muy frecuentemente en los libros de texto y en el ambiente escolar, la equivalencia en sistemas de ecuaciones lineales se restringe al estudio de sistemas cuyas ecuaciones, son equivalentes dejando de lado el caso en el que las ecuaciones que integran los sistemas no son equivalentes. Esto conduce a perder la idea esencial de la equivalencia de sistemas de ecuaciones, la cual radica en la conservación de un conjunto solución.

De acuerdo con Di Franco et. al. (2005), la comprensión de la conservación de un conjunto solución demanda que la enseñanza se ocupe de la concepción de conservación de soluciones en un gráfico a diferencia de la conservación del gráfico, que distinga la conservación de la igualdad numérica y la obtención de ecuaciones con el mismo conjunto solución así como las diferencias entre cómo armar algebraicamente ecuaciones equivalentes y cómo armar sistemas de ecuaciones equivalentes, sin que necesariamente sean equivalentes las ecuaciones que los definen.

II. Descripción de las actividades

Con las presentes actividades se pretende que los estudiantes reconozcan sistemas de ecuaciones equivalentes sin que sean necesariamente equivalentes las ecuaciones que los definen. Para alcanzar este propósito se plantean tres actividades. La primera consiste en presentar cinco gráficas de sistemas de ecuaciones y preguntar a los estudiantes qué graficas corresponden a sistemas de ecuaciones equivalentes y por qué. De las gráficas que se presentan en esta actividad, tres corresponden a sistemas de ecuaciones equivalentes con la característica de que ninguna de sus ecuaciones son equivalentes. Las otras dos gráficas corresponden a mostrar dos sistemas de ecuaciones sin solución.

Las gráficas que se muestran permiten evidenciar la posible diversidad de los aspectos en los que los estudiantes pueden fijarse. Por ejemplo, algún estudiante podría asociar los incisos c y e porque tienen ambas líneas paralelas en casi la misma posición, o asociar los incisos b y d porque las gráficas son parecidas también. Es decir, en estos casos los significados gráficos que se reflejan de la equivalencia corresponden a rectas con forma parecida. Otra posible respuesta podría ser, que un estudiante asocie los incisos b,c y d, ó a y e porque en la gráfica figura el mismo número de rectas. En el caso de los primeros tres rectas y en el caso de los segundos dos rectas. Asimismo las gráficas permiten también las posibilidades de centrarse en la solución gráfica de los sistemas de ecuaciones, por ejemplo, un estudiantes puede asociar los incisos a, b y d que efectivamente tienen la misma solución gráfica el punto (1,-1). La potencialidad de las gráficas va más allá, podemos detectar también aquel estudiante que considera que la gráfica del inciso c, representa un sistema de ecuaciones que tiene dos soluciones.

Como vemos, las posiciones y los sistemas elegidos gráficamente en esta actividad 1, son tales que nos abren un abanico de posibilidades para tratar de entender las diferentes ideas que los estudiantes tienen acerca de la equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales (a que la asocian, en qué aspectos se fijan de las gráficas). Esto mismo nos permite ver como una serie de etapas de construcción de significados en las que podemos ubicar el avance de los estudiantes.

En la segunda actividad, se plantean algebraicamente varios sistemas de ecuaciones y se les pide a los estudiantes que relacionen estos sistemas con las gráficas que se mostraron en la actividad 1, justificando el por qué de su elección. De igual manera que en la actividad 1, los prototipos algebraicos que se muestran tienen ciertas intenciones para acercarnos a las ideas de los estudiantes. Por ejemplo, en las gráficas se muestran tres sistemas de ecuaciones que corresponden cada uno gráficamente a tres rectas o funciones lineales que se intersecan, y dos sistemas de ecuaciones que corresponden gráficamente cada uno a dos funciones lineales, uno donde si se intersecan y otro donde no. Pero algebraicamente se muestran cuatro sistemas con tres ecuaciones cada uno. Esto puede dejar ver dos aspectos, uno que generalmente los estudiantes asocian el número de ecuaciones con el número de funciones que aparecen en los gráficos, entonces un estudiante podría decir que hay un sistema que no corresponde a ninguna de las gráficas, o bien, detectar que en un sistema expresado algebraicamente tiene dos ecuaciones equivalentes que gráficamente corresponderán a una misma función. El otro, que tiene que ver con la relación algebraica y gráfica de las rectas, en la que un estudiante pueda mostrar rápidamente la relación por ejemplo, a partir de detectar que aquellas ecuaciones donde las pendientes sean iguales corresponderán aquellas que son rectas paralelas.

Otro aspecto interesante que podría surgir, puede ser que aquel estudiante que había considerado a los sistemas de ecuaciones equivalentes como aquellos en los que gráficamente tienen una forma parecida las rectas, las expresiones algebraicas no son parecidas, por ejemplo, los coeficientes de las variables son fraccionarios en un sistema y en otros son enteros. Lo que conducirá al estudiante a replantear sus ideas.

La tercera actividad consiste en pedir a los estudiantes que resuelvan y grafiquen dos sistemas de ecuaciones, los cuales son sistemas equivalentes y se menciona a los estudiantes. Los sistemas son tales que algebraicamente uno de ellos está dado por ecuaciones equivalentes y el otro no. Una vez que el estudiante haya resuelto los sistemas. Se pregunta entonces: ¿Cuáles son las soluciones de cada sistema?, ¿Los sistemas de ecuaciones son equivalentes?,

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