Ejercicio 2: Axiomas y propiedades de espacios vectoriales

Ejercicio 2: Axiomas y propiedades de espacios vectoriales.

Dados los vectores 𝑢 = (−51, 42, 13) y 𝑣 = (19, −13, 1), y los escalares 𝜆 = 8 y 𝛽 = −3 verifique si:

𝜆(𝑢 + 𝑣) = 𝜆𝑣 + 𝜆𝑢

ii) 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0

iii) 𝜆(𝛽𝑣) = (𝜆𝛽) 𝑣

i).8(-51,42,13)+(19,13,1)=8,-51,42,13+8,19,13,1

8(-32,32,14)=16,-32,32,14

-256,256,112=16,-32,32,14

ii). u ⃗=(-51,42,13)

-u ⃗=(-1).u ⃗=(-1).(-51,42,13)=(51,-42,13)

u ⃗+(-u ⃗ )=(u ⃗-u ⃗ )=(-51,42,13)-(51,-42,-13)

(-u ⃗ )+u ⃗=(51,-42,-13)+(-51,42,13)

(u ⃗-u ⃗ )=-102,84,26=(-u ⃗ )+u ⃗)=0,0,0,=0

iii).8(-3,19,-13,1)=(8-3)19,-13,1

8(4)=(5)19,-13,1

32=95,-65,5

Ejercicio 3: Conjuntos generadores y Dependencia lineal.

1. Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente dependiente. 𝑆 = {(−2,4, −4), (1, −2,2) (−3,6,6)}

s:(■(-2@4@-4)),(■(1@-2@2)),(■(-3@6@6))

c_1 (■(-2@4@-4))+c_2 (■(1@-2@2))+c_3 (■(-3@6@6))=(■(0@0@0))→|■(-2c_1&1c_2&-3c_3@4c_1&-2c_2&6c_3@-4c_1&2c_2&6c_3 )|=(■(0@0@0))

(■(-2&1&-3@4&-2&6@-4&2&6)│■(0@0@0))

(■(4&-2&6@-2&1&-3@-4&2&6)│■(0@0@0)) Intercambiar f_1 conf_2

(■(4&-2&6@0&0&0@-4&2&6)│■(0@0@0)) f_2←f_2+1/2.f_1

(■(4&-2&6@0&0&0@0&0&12)│■(0@0@0)) f_3←f_3+1.f_1

(■(4&-2&6@0&0&0@0&0&1)│■(0@0@0)) f_3←1/12.f_3

(■(4&-2&0@0&0&0@0&0&1)│■(0@0@0)) f_1←f_1-6.f_3

(■(4&-2&0@0&0&1@0&0&0)│■(0@0@0)) Intercambiar f_2 conf_3

(■(1&-1/2&0@0&0&1@0&0&0)│■(0@0@0)) f_1←1/4.f_1

Lineal Independiente.

2. Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3: 𝑆 = {(5, 1, −5) , (2, −2,3) (−1, 0,3)}

|■(5&2&-1@1&-2&0@-5&3&3)|=

■(5&2&-1@1&-2&0@-5&3&3)■(5&2@1&-2@-5&3)=(5.-2.3),(2.0.-5),(-1.1.3),(-5.-2.-1),(3.0.5),(3.1.2)

(-30)+(0)+(-3)+(-10)+(0)+(6)=-37

|■(5&2&-1@1&-2&0@-5&3&3)|=-37 ≠0 Linealmente Independiente

Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.

Dada la siguiente matriz:

1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán

2. Calcular el rango por el método de determinantes

3. Indique si existe dependencia o independencia lineal.

2 1 3 2

15 10 25 5

-1 1 0 -7

3 -2 1 17

0 1 1 -4

15 10 25 5

2 1 3 2

-1 1 0 -7

3 -2 1 17

0 1 1 -4

Intercambiar f_1 con f_2

15 10 25 5

0 -1/3 -1/3 4/3

-1 1 0 -7

3 -2 1 17

0 1 1 -4

f_2←f_2-2/15.f_1

15 10 25 5

0 -1/3 -1/3 4/3

0 5/3 5/3 -20/3

3 -2 1 17

0 1 1 -4

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