Ejercicios Resueltos De Espacios Vectoriales

Dado el espacio vectorial R2, una base del mismo (e1, e2) y la de su dual , se introduce un cambio de base en la siguiente forma:

Obtener la base dual de (v, w) en función de la .

RESPUESTA 1

Para obtener la base dual de la dada tenemos:

y análogamente:

Se comprueba que la matriz de paso de a es la inversa de la matriz de paso de (e1, e2) a (v,w).

Un endomorfismo de R3 en las bases canónicas viene dado por la matriz:

Obtener la matriz referida a la base (1,1, 2), (0, 2, 1), (0, 0, 5)

RESPUESTA 4

La matriz de un endomorfismo depende de la base elegida, es decir, que si un operador tiene una matriz T en la base (e1, e2, …, en) entonces su matriz en otra base (u1, u2, …, un) es S-1.T.S, siendo S una matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la nueva base respecto de la antigua. En nuestro caso, la matriz T viene dada respecto a la base canónica, por lo que tendremos:

Ya partir de ahí :

Bueno, tú quieres pasar de la base A a la base B. Es decir, dado un vector v expresado en la base A quieres hallar las componentes de v en la base B. Esto es, hallar una matrix X tal que X•v da las componentes del vector v en la base B.

"Hallar un matriz X" significa encontrar n^2 coeficientes, siendo n la dimensión del espacio al que pertenece v; por lo que te haces a la idea de lo lamentablemente tedioso que es hacerlo con sistemas, pero ok; yo te lo explico.

Se trata de agarrar cada vector de la base A y buscar sus componentes en la base B. Para cada vector de la base A encontrarás sus n componentes en la base B; éstas n componentes son el resultado de multiplicar la matriz X del cambio de base por el vector que has tomado. Haz lo mismo con todos los vectores de la base A. Como ves, para cada uno de los n vectores de la base A hay que plantear un sistema de n ecuaciones y n incógnitas, lo cual da un total de n^2 incógnitas. Cuando tengas toda esta colección de componentes, has de ir una a una y buscar la matriz X que multiplicando al primer vector da las primeras componentes, el segundo las segundas, etc.

Un subterfugio que te puede sacar de un apuro es hacer un paso intermedio con la base canónica. Pasa de la base A a la base canónica (sistema triangular) y luego de la base canónica a la base B (sistema triangular).

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: pasamos de la base A={(1,-2),(-1,-7)} a la base B={(-1,1),(2,-3)}. Expresamos (1,-2) en la base B:

(1,-2) = k(-1,1) + l(2,-3)

Si resolvemos el sistema obtenemos k = 1, l = 1.

Ahora expresamos (-1,-7) en la base B:

(5,-7) = m(-1,1) + n(2,-3)

Si resolvemos el sistema obtenemos m = -1, n = 2.

Así las cosas, (1,-2) es (1,1) en la base B y (5,-7) es (-1,2). "Sólo" queda encontrar un matriz X de modo que X(1,-2) = (1,1) y X(5,-7) = (-1,2). Esto da otro sistema de n^2 ecuaciones:

Sean a, b, c, d las entradas de la matriz X, se tiene:

a-2b = 1

c-2d = 1

5a-7b = -1

5c-7d = 2

Resulves el sistema (yo paso) y obtendrás por fin la matriz X.

Conviene observar que, lógicamente, X ha de ser de rango máximo. Esto se explica fácilmente viendo que si quieres hacer el camino inverso, pasar de B a A, bastará con hallar la matriz inversa de X. Si ésta no tuviera rango máximo, no sería inversible y todo esto no tendría sentido.

Matricialmente, todo esto se traduce en que si A y B son las matrices de cada base (es decir,

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