Espacios Vectoriales En R2

ESPACIOS VECTORIALES EN R2.

Los conjuntos R2 (vectores en el plano) y R3 (vectores en el espacio) cuentan con muchas propiedades interesantes. Se pueden sumar dos vectores en R2. Bajo la suma, los vectores en R2 obedecen las leyes conmutativa y asociativa. Si x ε R2 , entonces x + 0 = x y x + (-x ) = 0. Se puede multiplicar vectores en R2 por escalares y obtener las leyes distributivas. Los conjuntos R2 y R3 junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar se llaman espacios vectoriales. De manera intuitiva, se puede decir que un espacio vectorial es un conjunto de objetos junto con 2 operaciones que obedecen las reglas que acaban de escribirse.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL.

l.- SI x ε V y y ε V, entonces x + y ε v.

II.- para todo x, y y 2 en V, (X+y) + 2= X + (y+2)

(Ley asociativa de la suma de vectores)

III.- Existe un vector 0 ε V tal que para todo X ε V, X+0=+X=

(El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)

IV. si X ε V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) =0

(-x se llama inverso aditivo de x)

V.- Si X y Y están en V entonces X + Y = Y+X

(Ley conmutativa de la suma de vectores)

VI.- Si X ε V y ∝ es un escalar, entonces ∝ x ε ν

(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

VII.- Si X y Y están en V y ∝ es un escalar, entonces ∝ (x+y) = ∝ χ + ∝ y.

(Primera ley distributiva).

VIII.- Si x ε V y ∝ y β son escalares, entonces (∝ y β) x = ∝ x + β×

(Segunda ley distributiva).

IX.- Si x ε V y ∝ y β son escalares, entonces ∝ (β x) = (∝ β) x.

(Ley asociativa de la multiplicación por escalares)

X.- Para cada vector X ε V, 1X=X

EJEMPLO 1.

El conjunto de puntos de en R2 que están en una recta que pasa por el origen, constituye un espacio vectorial sea V= { (x,y): y=mx, donde m es un número real arbitrario}.

Es decir, V consiste en todos los puntos que están sobre la recta y=mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es un espacio vectorial, se puede verificar que se cumple cada uno de los axiomas.

I.- Suponga que…………………………………….están en…………………………………. Entonces……………………

II.- Suponga que…………………………………….entonces ………………………………………y ……………………….., de manera que……………………………también pertenece a ……………………………………………………………

EJEMPLO II.

Considerar a los elementos de R2 como motrices de dos renglones y una columna con las operaciones de X y . entre motrices. Es decir, si………………………son elementos de R2 y λ, µ elementos de R2 serán.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Para que R2 sea considerado un espacio vectorial real, debemos ver si con las dos operaciones, se cumplen los requisitos de la definición. Es importante notar que constantemente estaremos haciendo uso de las propiedades de los números reales con respecto a la asociatividad, la distributividad, la existencia del 0 (elemento

...