Ejercicios Procesos estocasticos

Modelos Estocásticos.

     Los modelos estáticos se ocupan de determinar una respuesta para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cambiarán de significativamente a corto plazo, un buen ejemplo de este es la programación lineal. Un modelo estático dará por resultado la mejor solución basada en esa condición estática sin embargo la capacidad de producción y los requerimientos de tiempo de los productos pueden cambiar finalmente y lo hacen así debido a las condiciones internas y externas. Un modelo dinámico está sujeto al factor de tiempo, que desempeña un papel esencial en la secuencia de las decisiones, el modelo dinámico nos permite encontrar las decisiones óptimas para los períodos que quedan todavía en el futuro. (Almeida, 2010, pág. 55)

Programación Estocásticos.

     Se entiende por estocástico o programación probabilística ala que ocupa de las situaciones en las que algunos parámetros del problema de optimización se describen por distribuciones. Las fuentes de las variables aleatorias pueden ser varias, dependiendo de la naturaleza y tipo de problema. (RAO, 1996, pág. 50)

     Muchos problemas de programación matemática incorporan parámetros que se suponen conocidos en el momento de resolver el problema y, por tanto, constantes a la hora de resolverlo. Sin embargo, si el problema de optimización es el resultado de la representación mediante un modelo de una situación real en la que hemos de tomar una decisión, es frecuente que se desconozcan los valores de algunos de los parámetros que intervienen en él. Este desconocimiento da lugar a que en el momento de adoptar una decisión se desconozcan las posibles consecuencias de la misma.

     En base a la información disponible acerca de los posibles resultados de una acción en cualquier proceso de toma de decisiones, podemos decir que cuando tomamos una decisión estamos ante una situación de:

• Certidumbre: Si cada acción da lugar a un resultado conocido e invariable.
•  Riesgo: Si cada acción lleva a un posible resultado y cada resultado lleva asociada una probabilidad dc que ocurra, conocida para el decisor. La situación de certidumbre es un caso degenerado de una situación de riesgo con probabilidades cero y uno.
•  Incertidumbre: Si cada acción tiene una consecuencia de entre un conjunto de posibles resultados, pero se desconocen las probabilidades de éstos.

 Para resolver problemas en los que se desconocen los valores de algunos de los parámetros que intervienen en el mismo (situaciones de riesgo o de incertidumbre), es posible adoptar distintas “soluciones”. En determinadas circunstancias, y en base a la información disponible acerca de ellos, es posible “sustituir” estos valores por una estimación que se ajuste bien a datos históricos de los mismos, una medición no exacta de su valor esperado Otra posibilidad es tratar estos parámetros como variables aleatorias.
    La programación estocástica analiza la resolución de problemas de programación matemática en los que algunos parámetros son desconocidos, pero se conoce la distribución de probabilidad asociada a ellos y, por tanto, las situaciones que se analizan mediante la misma son situaciones de riesgo.

      (Prékopa, 1995) define la programación estocástica como “la resolución de problemas de programación matemática en los que algunos o todos los parámetros son variables aleatorias”.

     En programación estocástica se relaja, por tanto, la hipótesis de que todos los parámetros del problema son deterministas, permitiendo tratar como variables aleatorias parámetros sujetos a incertidumbre o a posibles errores en su medición o estimación y de los que se conoce su distribución de probabilidad.
    Los problemas de programación estocástica pueden dividirse en modelos estáticos y dinámicos. Nos centraremos en el estudio de los modelos estáticos.
    La formulación general de un problema estático de programación estocástica es

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donde  es un vector aleatorio definido sobre un conjunto . Suponemos dada la familia  de eventos, es decir, subconjuntos de , y la distribución de probabilidad P definida sobre , de manera que para cualquier subconjunto de ,  , A  , la probabilidad de A, P(A), es conocida. Además, se mantiene la hipótesis de que la distribución de probabilidad, P, es independiente de las variables de decisión,      Si analizamos el problema de programación estocástica, el hecho de que algunos parámetros del problema sean aleatorios da lugar a que la función objetivo y las funciones = 1,2,...,q, sean variables aleatorias, que implica que el problema no esté bien definido matemáticamente. Nótese que, si bien la elección de un vector x es determinista, puesto que las decisiones que adopta el decisor no están sujetas a incertidumbre, el hecho de que los parámetros del problema sean variables aleatorias puede dar lugar a que la decisión adoptada sea no factible una vez que se resuelve la incertidumbre o que, aun siendo factible, no sea óptima.
    Así, para cada realizaciónde  el problema de programación estocástica es un problema determinista de programación matemática, pero, si se ha de elegir un vector x antes de que se realicen las variables aleatorias, el término “opt” no tiene sentido, puesto que el conjunto de soluciones factibles del problema será distinto para cada realización de
    En cuanto a la función objetivo, al estar afectada por parámetros aleatorios, es ella misma una variable aleatoria, y, puesto que un conjunto de valores aleatorios no admite una relación de orden, podemos tener una realización de  ,para la que:[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

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y otra realización,  para la cual:[pic 21]

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     Por tanto, en un problema de programación estocástica no existe un vector x que sea óptimo para todas las realizaciones de la variable aleatoria.
    De todo ello se desprende que hemos de especificar el concepto de solución de un problema de programación estocástica

Ejemplo 

Colas 

Programación Estocásticos.

     Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias  parametrizada por un conjunto T, llamado espacio parametral, en donde las variables toman valores en un conjunto S llamado espacio de estados.[pic 23]

 En los casos más sencillos se toma como espacio parametral el conjunto discreto  y estos números se interpretan como tiempos. En este caso se dice que el proceso es a tiempo discreto, y en general este tipo de procesos se denotará por , o explícitamente,[pic 24][pic 25]

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Así, para cada , es el valor del proceso o estado del sistema al tiempo . Este modelo corresponde a un vector aleatorio de dimensión infinita.[pic 27][pic 28][pic 29]

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Figure 1. Vector aleatorio de dimensión infinita.

     El espacio parametral puede también tomarse como el conjunto continuo . Se dice entonces que el proceso es a tiempo continuo, y se denotará por[pic 31]

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     Por lo tanto, seguiremos la convención de que, si el subíndice es n, entonces los tiempos son discretos, y si el subíndice es t, el tiempo se mide de manera continua. Los posibles espacios de estados que consideraremos son subconjuntos de , y un poco más generalmente tomaremos como espacio de estados el conjunto de números reales aunque en algunos pocos casos también consideraremos . Naturalmente, espacios más generales son posibles, tanto para el espacio parametral como para el espacio de estados. En particular, para poder hablar de variables aleatorias con valores en el espacio de estados S, es necesario asociar a este conjunto una σ- álgebra[pic 33][pic 34][pic 35]

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Figure 2. Variables aleatoria con valores

     Considerando que S es un subconjunto de, puede tomarse la σ- álgebra de Borel de  restringida a S, es decir, Un proceso estoc´astico, tambi´en llamado proceso aleatorio, puede considerarse como una función de dos variables[pic 37][pic 38][pic 39]

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tal que, a la pareja , se le asocia el valor o estado  , lo cual también puede escribirse como Para cada valor de  en T, el mapeo es una variable aleatoria, mientras que para cada  en Ω fijo, la función es llamada una trayectoria o realización del proceso. Es decir, a cada  del espacio muestral le corresponde una trayectoria del proceso. Es por ello que a veces se define un proceso estocástico como una función aleatoria. Una de tales trayectorias típicas que además cuenta con la propiedad de ser continua se muestra en la Figura 2, y corresponde a una trayectoria de un movimiento Browniano, proceso que definiremos y estudiaremos más adelante.
    Si A es un conjunto de estados, el evento corresponde a la situación en donde al tiempo  el proceso toma algún valor dentro del conjunto A. En particular, es el evento en donde al tiempo  el proceso se encuentra en el estado . Considerando distintos tiempos, estaremos interesados en eventos de la forma                                   [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

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