PROCESOS ESTOCASTICOS- SEMINARIO 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA        Ciclo Académico: 2020-02 FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA        Fecha:         01-12-2020 DEPARTAMENTOS ACADÉMICOS        Duración:         2h        [pic 1][pic 2]

CURSO:[pic 3]

PROCESOS ESTOCASTICOS- SEMINARIO 3         

COD. CURSO:         BMA12M        

1. Sea X(t) un proceso estocástico wss e

Y(t) = X(t)cos(ω0t + θ), con

ω0 constante y

θ  U [−π ;π ] independiente de X(t). Demostrar que Y(t) es un proceso estocástico wss.

Solución

1. Calculo de la esperanza de Y(t)

E[Y(t)] = E[X(t)cos(ω0t + θ)] = E[X(t)]⋅E[cos(ω0t + θ)][pic 4]

cte

Cálculo de E[cos(ω0t + θ)]

π

1        1 π

E[cos(ω0t + θ)] =

∫ cos(ω0t + θ) ⋅ 2π ⋅ dθ = 2π ∫ cos(ω0t + θ) ⋅ d(ω0t + θ)

−π        −π[pic 5][pic 6]

= [sen(ω0t + θ)] π = sen(ω0t + π) − sen(ω0t − π) = −sen(ω0t) + sen(ω0t) = 0

−π

E[Y(t)] = E[X(t)cos(ω0t + θ)] = E[X(t)]⋅(0) = 0

La esperanza de Y(t) es constante

1. Calculo de la autocorrelación

RYY (t;t + τ) = E[Y(t)Y(t + τ)] = E⎡⎣X(t)cos(ω0t + θ)X(t + τ)cos(ω0(t + τ) + θ)⎤⎦

⎡        ⎤

RYY (t;t + τ) = E[X(t)X(t + τ)]⎢cos(ω0t + θ)cos(ω0(t + τ) + θ)⎥

 ⎢

RXX (τ)        ⎢⎣

         ⎥

β        α        ⎥⎦

Se sabe: cos α ⋅ cosβ = 1 [cos(α− β) + cos(α+ β)] , α = ω0t + ω0τ +θ ,[pic 7][pic 8]

⎡        ⎤

= RXX(τ) ⋅ 1 ⋅E ⎢cos(ω0τ) + cos(2ω0t + ω0τ + 2θ)⎥

[pic 9]

β = ω0t +θ 

2        ⎢        

 ⎥

⎢        α−β        α+β        ⎥⎦

= RXX(τ) E⎡⎣cos(ω0τ)⎤⎦ + RXX(τ) E⎡⎣cos(2ω0t + ω0τ + 2θ)⎤⎦[pic 10][pic 11][pic 12]

= RXX(τ) ⋅ cos(ω0τ) + RXX(τ) E⎡⎣cos(2ω0t + ω0τ + 2θ)⎤⎦[pic 13][pic 14][pic 15]

Calculo de  E⎡⎣cos(2ω0t + ω0τ+ 2θ)⎤⎦

E⎡⎣cos(2ω0t + ω0τ+ 2θ)⎤⎦ = ∫2π cos(2ω0t + ω0τ+ 2θ)  1  dθ

0        2π

=   1  ∫2π cos(2ω0t + ω0τ+ 2θ)d(2ω0t + ω0τ+ 2θ) =   1  ⎡⎣sen(2ω0t + ω0τ+ 2θ)⎤⎦ 2π

4π  0        4π        0

...