Ejercicios con Series de Taylor
Enviado por georgealfa • 1 de Octubre de 2020 • Prácticas o problemas • 679 Palabras (3 Páginas) • 492 Visitas
Ejercicios con Series de Taylor
- Expanda en serie de Taylor a la función sen(x) centrada en el punto 𝑥𝑖 = 0
R. La función sen(x) se expresa como una serie de Taylor, centrada en el punto 𝑥𝑖 = 0, como:
∞
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ∑
𝑘=0
𝑓(𝑘)(0)
[pic 1]
𝑘!
(𝑥 − 0)𝑘
Una tabla de derivadas de 𝑠𝑒𝑛(𝑥)|0 se muestra a continuación:[pic 2]
Orden k | Derivada de orden k | Valor en 𝑥𝑖=0 |
0 | sen(x) | 0 |
1 | cos(x) | 1 |
2 | -sen(x) | 0 |
3 | -cos(x) | -1 |
4 | sen(x) | 0 |
Las derivadas del sen(x) de orden 0 al 3, se repiten del 4 al 7, del 8 al 11 y así sucesivamente. Como se muestra en la tabla, los valores de las derivadas alternan de 1 a -1 de signo para k impar. Toman el valor de 0 para k par. Por lo tanto:
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑥 −
𝑥3
[pic 3]
3!
𝑥5
+ 5![pic 4]
𝑥7
− 7![pic 5]
∞
+ ⋯ = ∑[pic 6]
𝑘=0
(−1)𝑘 (2𝑘 + 1)!
𝑥2𝑘+1
- Expanda en serie de Taylor a la función cos(x) centrada en el punto 𝑥𝑖 = 0
R. La función cos(x) se expresa como una serie de Taylor, centrada en el punto 𝑥𝑖 = 0, como:
∞
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = ∑
𝑘=0
𝑓(𝑘)(0)
[pic 7]
𝑘!
(𝑥 − 0)𝑘
Una tabla de derivadas de 𝑐𝑜𝑠(𝑥)|0 se muestra a continuación:[pic 8]
Orden k | Derivada de orden k | Valor en 𝑥𝑖=0 |
0 | cos(x) | 1 |
1 | -sen(x | 0 |
2 | -cos(x) | -1 |
3 | sen(x) | 0 |
4 | cos(x) | 1 |
Las derivadas del cos(x) de orden 0 al 3, se repiten del 4 al 7, del 8 al 11 y así sucesivamente. Como se muestra en la tabla, los valores de las derivadas alternan de 1 a -1 de signo para k par. Taman el valor de 0 para k impar. Por lo tanto:
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 1 −
𝑥2
[pic 9]
2!
𝑥4
+ 4![pic 10]
𝑥6
− 6![pic 11]
∞
+ ⋯ = ∑[pic 12]
𝑘=0
(−1)𝑘 (2𝑘)!
𝑥2𝑘
- Expanda en serie de Taylor a la función 𝑒𝑥 centrada en el punto 𝑥𝑖 = 0
R. La función 𝑒𝑥se expresa como una serie de Taylor, centrada en el punto 𝑥𝑖 = 0, como:
∞
𝑒𝑥 = ∑
𝑘=0
𝑓(𝑘)(0)
[pic 13]
𝑘!
𝑥𝑘
Una tabla de derivadas de 𝑒𝑥| se muestra a continuación:[pic 14]
Orden k | Derivada de orden k | Valor en 𝑥𝑖=0 |
0 | 𝑒𝑥 | 1 |
1 | 𝑒𝑥 | 1 |
2 | 𝑒𝑥 | 1 |
3 | 𝑒𝑥 | 1 |
4 | 𝑒𝑥 | 1 |
Las derivadas de 𝑒𝑥 evaluadas en 𝑥𝑖 = 0 siempre toman el valor de1. Por lo tanto:
𝑒𝑥 = 1 +[pic 15]
𝑥1 1!
𝑥2
+[pic 16]
2!
𝑥3
+[pic 17]
3!
𝑥4
+[pic 18]
4!
∞
+ ⋯ = ∑
𝑘=0
𝑥𝑘
[pic 19]
𝑘!
- Expanda en serie de Taylor a la función 𝑒𝑖𝜃 centrada en el punto 𝑥𝑖 = 0. La constante i es la base de los números imaginarios.
R. La función 𝑒𝑖𝜃se expresa como una serie de Taylor, centrada en el punto 𝜃𝑖 = 0, como:
...