Ejercicios de ecuaciones diferenciales: Aplicaciones a problemas de enfriamiento y otros fenómenos

A PLICACIÓN 6.

Problema del enfriamiento: La ley de newton establece que la razón de que un

objeto se enfrié es proporcional a la diferencia de temperaturas entre objeto y

medio ambiente donde T temperatura objeto y Tm temperatura medio. Entonces el

cambio de temperatura es

dT

dTm

y por tanto la ecuación diferencial es

( )

dT

k T Tm

dt

  donde k es la constante de proporcionalidad donde la ecuación es

lineal.

Ejemplo: Un cuerpo es retirado a 500 grados y es colocado en un cuarto a 100

grados; si la temperatura del cuerpo baja hasta 300 grados en una hora, cual es la

temperatura al cabo de 6 horas.

Sabemos que Tm=100, T (0) = 500 y t (1) = 300

100

dT

KT

dt

 

Integramos utilizando el factor integrante ekt

75 kt T ce   ahora remplazamos la

condición T (0), para encontrar c, entonces T(t) = 75 + 225e-kt si utilizamos

T(1) encontramos k (Proceda a resolver el problema con estas indicaciones).

Luego encuentre lo buscado T(6)

Lección 15: Ejercicios Propuestos

1. La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo

0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos.

Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración.

t=1 hr 21 min.

2. Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la dirección del

movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la

velocidad, determinar: la velocidad 20 seg después de que la barca haya

empezado a moverse. s/

3. Un cultivo de hongos crece con rapidez proporcional al tamaño. Si se tiene 1000

y después de 2 horas se tiene 2500. Cuantos hay en 6 horas. S/ 15.625 hongos.

4. Encontrar la corriente I en función del tiempo para un circuito de L = 1, R=

1000000 y fuerza = 1 voltio. S/ 1 amperio si t aumenta.

v  2.4m/ seg.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales

5. Si un cuerpo es sacado de un horno a 300 grados y se coloca en un recipiente a

75 grados, la temperatura del cuerpo decae a 200 grados en media hora. ¿Cuál es

la temperatura a las 3 horas? S/ 81,6 grados.

6. Un cuerpo que pesa 64 néwtones se deja caer desde una altura de 100 metros

cuya velocidad inicial es 10 m/s, la resistencia del aire es proporcional a la

velocidad del cuerpo. La velocidad limite es de 128 m/s encontrar la posición en un

instante t. s/ ( ) 128 1534 13 1534

t

x t e



  

7. En un recipiente hay 1 libra de sal en 100 galones de agua. Se sabe que la

solución salina entra al tanque a razón de 3 galones por minuto, se agita el

recipiente y sale la solución en la misma proporción. Que cantidad de sal hay en el

recipiente en 2 horas. S/ 9.52 libras.

8. Halle las curvas ortogonales de 2 2 x  y  cx .

Teorema De Bernoulli

lim 0

n

f

p

n





 

    

 

Veamos la Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza

En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:

http://es.wikipedia

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD

Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada.

1.

dy y

dx x

 2.

2 2

3

dy x

dx y





Sol:

2 2

2 2

...