PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ALEJANDRO IMBACHI BOLAÑOS

1. [pic 1]

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

[pic 2]

Se determina como ecuación diferencial homogénea

[pic 3]

Solución general, teniendo en cuenta que la ED es de orden 3, proyecta tres soluciones.

[pic 4]

Conseguimos polinomio asociado a la ecuación diferencial

[pic 5]

Dividimos la expresión entre 20.

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[pic 7]

Factorizamos el polinomio para determinar sus raíces.

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

De la factorización determinamos que las raíces son:

Obteniendo 3 valores reales diferentes para m

[pic 11]

Solución hallada

[pic 12]

[pic 13]

Solución de la E.D.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JIMENA CAMILA CHILAMA CORAL

[pic 14]

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

[pic 15]

Hay que tener en cuenta que la formula estándar de una ecuación homogénea de orden superior es la siguiente: 0[pic 16]

[pic 17]

Como segundo paso entramos a simplificar las constantes que apliquen

[pic 18]

Teniendo en cuenta la ecuación estándar anteriormente mencionada, entramos a asumir una solución de la ecuación diferencial con la forma  por lo que es necesario entrar a reescribir y=[pic 19][pic 20]

[pic 21]

Para proceder con la solución de la ecuación de una forma favorable entramos a simplificar

[pic 22]

Teniendo en cuenta que es diferente ( a 0 la ecuación
[pic 23][pic 24][pic 25]

la podemos resolver como una ecuación cuadrática

[pic 26]

[pic 27]

Posteriormente entramos a multiplicar cada uno de los elementos de la ecuación por el mínimo común múltiplo que les aplique que en este caso es 6

[pic 28]

[pic 29]

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En este caso buscamos la fórmula general para una ecuación de orden superior que en este caso para una ecuación de orden superior de la forma la solución sería de la siguiente manera:[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Una vez obtengamos este resultado y esta forma de la ecuación diferencial de orden superior entramos a solucionar la ecuación mediante el método de factorización de la siguiente forma:

[pic 34]

[pic 35]

En este caso se debe tener en cuenta que para las 2 raíces , tenemos como solución general de la siguiente forma:[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Y este sería el resultado final de la ecuación

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ALEJANDRO IMBACHÍ BOLAÑOS

1. [pic 49]

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

[pic 50]

Este tipo de ecuaciones se tiene una solución general de la forma:

Que corresponde a la parte homogénea y para a la solución particular

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

Primero se resuelve homogénea

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Determinamos el polinomio asociado a la ED.

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Se determina la raíz

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Consiguiendo el valor de m

Dos raíces complejas conjugadas

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Resultado de la parte homogénea

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Solucionamos la parte no homogénea, haciendo uso del método de variación de parámetros, es decir, tomando las constantes c1 y c2 de la solución homogénea como funciones.

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Sustituir constantes por funciones

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Expresiones para determinar las funciones U1 y U2

W: es el wronskiano

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Determinación del wronskiano.

Mediante a identidad trigonométrica se simplifica.

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[pic 71]

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Reemplazamos para determinar U1

Usando la relación de un ángulo triple

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[pic 77]

Se divide la integral para solucionarla.

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Primera función.

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[pic 81]

Substituimos para determinar U2

Usamos la forma de una función coseno con un ángulo triple

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[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

Usamos el postulado que la suma en una integral es la suma de las integrales

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[pic 87]

Segunda función

[pic 88]

Reemplazamos en yp

[pic 89]

Solución general

[pic 90]

[pic 91]

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JIMENA CAMILA CHILAMA CORAL

[pic 92]

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

[pic 93]

En primera instancia se debe tener en cuenta que para una ecuación diferencial no homogénea de orden superior la forma es la siguiente:  y en cuanto a la solución general de esta ecuación encontramos que para  y se podría escribir de la siguiente forma: [pic 94][pic 95][pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

Posteriormente para la ecuación planteada debe hallar Yh

[pic 101]

En cuanto a este paso se refiere, para dar solución a la ecuación es importante entrar a factorizar el término [pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

[pic 105]

Teniendo en cuenta que , podríamos decir que la ecuación  es similar a resolver una ecuación cuadrática donde antes de entrar a simplificar debemos realizar una multiplicación de ambos lados por 2.[pic 106][pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

 Resultado Simplificado[pic 111]

Posteriormente encontramos que para una ecuación diferencial de orden superior de la forma  en términos generales la solución es la siguiente:[pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

Teniendo en cuenta que es una ecuación de segundo grado, las soluciones para estas son las siguientes:

Para dos raíces , la solución general toma la forma [pic 115][pic 116]

[pic 117]

[pic 118]

En este caso para hallar  debemos dividir ambos lados entre el valor [pic 119][pic 120]

[pic 121]

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[pic 123]

[pic 124]

[pic 125]

[pic 126]

[pic 127]

[pic 128]

[pic 129]

En este caso para la parte de la ecuación no homogénea , se supone la solución de la siguiente forma:  donde  y  son soluciones de la ecuación homogenea , y son soluciones del sistema de ecuaciones , por lo que se supone :[pic 130][pic 131][pic 132][pic 133][pic 134][pic 135][pic 136]

[pic 137]

[pic 138]

[pic 139]

Posteriormente tenemos que las soluciones homogéneas son las siguientes:

[pic 140]

[pic 141]

[pic 142]

Y en cuanto a la solución general de la ecuación tenemos la siguiente:

[pic 143]