PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

´Indice general

1. M´ETODOS ELEMENTALES DE INTEGRACI ´ON 3

1.1. Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Problemas de ecuaciones homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Ecuaciones de tipo Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6. Campos de pendientes de ecuaciones diferenciales . . . . . . . 11

1.7. Trayectorias ortogonales a una familia de curvas . . . . . . . . 14

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ECUACIONES

DE ORDEN SUPERIOR 16

2.1. Sistemas lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . 16

2.2. Sistemas y ecuaciones lineales con coeficientes variables . . . . 21

2.3. Sistemas lineales con coeficientes peri´odicos (Teor´ıa de Floquet) 23

2.4. Sistemas lineales matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5. M´etodos operacionales en ecuaciones lineales . . . . . . . . . 31

3. EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGACI´ON DE SOLUCIONES

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3.1. La condici´on de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. Existencia, unicidad y prolongaci´on de soluciones . . . . . . . 33

4. INTRODUCCI´ON A LA TEOR´IA CUALITATIVA DE ECUACIONES

DIFERENCIALES 41

1

Prefacio

Esta colecci´on de ejercicios tiene como objetivo b´asico servir de complemento

a la asignatura de Ecuaciones Diferenciales para alumnos de Matem

´aticas de segundo curso en el vigente plan de estudios de la Facultad de

Ciencias de Zaragoza.

Puesto que es una asignatura cuatrimestral de car´acter introductorio, se

insiste especialmente en los m´etodos elementales de integraci´on , en los sistemas

y ecuaciones lineales, en los aspectos relacionados con la existencia,

unicidad y prolongaci´on de soluciones y, como no, se hace una breve introducci

´on a la teor´ıa cualitativa ya que este t´opico se estudia en detalle en otro

curso posterior. Posiblemente los ejercicios mas dificultosos para los alumnos

resulten los relativos a la existencia, unicidad y prolongaci´on de soluciones,

pero creemos que su resoluci´on ayuda a profundizar y analizar con rigor los

teoremas b´asicos de la teor´ıa de EDOs y, en nuestra opini´on, este aspecto es

esencial en la formaci´on matem´atica.

Se han incluido solamente los enunciados de los ejercicios con la idea de

que aquellos que no se resuelvan en clase sirvan como material para el trabajo

individual del alumno.

El autor quiere manifestar, en primer lugar, su sincero agradecimiento a

los alumnos de los ´ultimos cursos por sus observaciones y sugerencias que

han motivado la revisi´on y mejora de la colecci´on. En segundo lugar a los

compa˜neros del Departamento, en particular a Leandro Moral, por ayuda y

colaboraci´on en la elaboraci´on del material.

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Cap´ıtulo 1

M´ETODOS ELEMENTALES

DE INTEGRACI ´ON

1.1. Ecuaciones de variables separables

1) Calcula, por separaci´on de variables, la soluci´on general de las siguientes

ecuaciones de primer orden. Adem´as, en caso de dar condiciones iniciales,

determina las soluciones de los problemas de valor inicial (PVI) as´ı como su

intervalo maximal de definici´on.

1). .

...