Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Ricatti

Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Ricatti

Ejercicio 1.

215 ’ 2 +− = yyy () 3 =xS

Paso 1: Realizar el cambio de variable

z y 1 3 =+ →

3

1 −

=

y z

’1’ 2 zzy =−

Hacer las sustituciones correspondientes

15 1231’31 2 2 −       ++      =+− zz z z

Paso 2: Resolver operaciones y reducir tØrminos semejantes para obtener la ecuacin lineal.

81 ’ =− + zz

Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante

() 8 =xP () 1 =−xQ

xFIe 8=

Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable

xzce 8 8 1 − −+=

118

x ce y 8 8 1 3 1 − −+= −

→ 3 8 1 1 8 + −+ = − xce y

Ejercicio 2.

93’6 22 +−=+ xyxyy ()Sx x 3 =−

Paso 1: Realizar el cambio de variable

z yx 1 3 −+=

’ 1’3 2 zzy −−=

Hacer las sustituciones correspondientes

93 16331’13 2 2 2 +−       −++      =−−− x z xxx z z z

Paso 2: Resolver las operaciones y reducir tØrminos semejantes para obtener la ecuacin separable,

’1 =−z

Paso 3: Integrar miembro a miembro para obtener:

cxz +=−

Revertir el cambio de variable

xc

yx

−+=

+3 1 → x cx y 3 1 − −+ =

119

Ejercicio 3.

55’ 2 −+= yxyy ()Sx x 5 =

Paso 1: Realizar el cambio de variable

z yx 1 5 =+ →

yx

z

5 1 − =

’1’5 2 zzy =−

Hacer las sustituciones correspondientes:

51551’515 2 2 +       −+      =+− z xx z zx z

Paso 2: Resolver las operaciones y reducir tØrminos semejantes para obtener la ecuacin lineal:

51’ =−+ zxz

Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante

() Px x 5 = () 1 =−xQ

2

2 5 5 x xx eeFI =∫= ∂

Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable

2

2

2 5

2 5

x

x

e

xce

z

∂+− = ∫

120

ex x ∂∫ 2 2 5

no es una integral elemental.

2

2

2 5

2 5

5 1

x

x

e

xce

yx

∂+−

= −

∫ → x xce ey x x 5 2 2 2 5 2 5 + ∂+− = ∫

NOTA: se acostumbra, cuando la integral () ∫ ∂ xxf no es elemental, escribir como ()∫ ∂ x x ttf 0 donde x0 es una constante as:

ec eu x x x x −+ = ∫0 2 2 2 5 2 5

ux y 5 +=

Ejercicio 4:

45 ’ 2 +− = yyy () 5 =−xS

Paso 1: Realizar el cambio de variable

z y 1 5 −+= →

5

1 +

=

y z

’1’ 2 zzy =−

Hacer las sustituciones correspondientes:

...