Problemas Resueltos Ecuaciones Diferenciales

APLICACIONES DE ECUACION DEFERENCIALES DE 1ER ORDEN

1. La suma de las longitudes de la normal y la sub-normal es igual a la unidad hallar la ecuación de la curva que pasa por el origen

Solución

Según la condición del problema de la figura tenemos

N T SN

Pero y

Luego

ST SN pero

= 1

Elevando al cuadrado, simplificando y separando variables

La curva pasa por (0,0) reemplazando X=0 , Y=0 -1 = C

2. Hallar la curva con l prioridad, de que la perpendicular trazada del origen a la línea tangente y la abscisa del punto de tangencia, son de igual longitud

Solución : sea P( Xo , Yo ), el punto de tangencia, luego la recta tangente a la cueva, en Po será

La distancia OR, debe ser igual a Xo

elevando al cuadrado y simplificando

como la ecuación e homogénea efectuamos el siguiente cambio de variable

reemplazando en la ecuación

Separando las variables e integrando

Pero

3. Hallar la familia de curvas en las que el segmento de toda la tangente comprendido entre el eje Y y el punto de tangencia queda dividido en dos partes iguales por el eje X

Solución : realizamos un gráfico de la situación pedida. La recta es

para hallar los valores a y b

…….. x = 0 , y = b

Como A es el punto medio entre P y B

Luego igualando componentes y reemplazando los valores de a y b

= 2

De ambos obtenemos la misma ecuación (que es lo que debíamos hallar), separando las variables e integrando

sol……

4. Encontrar la ecuación de las trayectorias ortogonales a una curva decreciente que satisface la condición: si un punto cualquiera de la curva decreciente, se trazan las rectas tangente y normal a dicha curva y si A es el punto de intersección de la tangente con la recta y B es el punto de intersección con la normal, el segmento AB siempre medirá unidades de longitud

Solución

La ecuación de la recta tangente es la intersección con Y = x tenemos

Y el punto A tiene coordenadas:

la ecuación de la recta normal será

y al intersectar con Y = X tenemos

Y el punto B tiene coordenadas:

La distancia entre estos puntos es

pero

Tomando el signo positivo

tomando el signo negativo pues la curva es decreciente

es la ecuacion diferencial de las curvas directas, para las curvas ortogonales, cambiamos

sea

…………..(3)

para la integral sea: el cambio de variable siguiente

Expandiendo a fracciones parciales e integrando

pero y reemplazando en (3)

pero

Solución ………

5. Hallar la curva para la cual el segmento de toda tangente comprendida entre los ejes coordenados, se divide en partes iguales por la parábola y 2= 2x

La ecuación de la recta tangente es

….(1)

Para hallar las intersecciones con los ejes coordenados, reemplazamos x= 0, y = b

En los puntos A y B, tienen coordenadas A (a, =) ,B(0,b)

…..(2)

El punto M, es medio entre A y B, luego

En punto M, debe hallarse sobre la parábola, luego cumple su ecuación, es decir

Se obtiene dos ecuaciones diferenciales

i)

= 0

sol….

Son rectas que pasan por el origen, si bien matemáticamente cumple la condición, no es la solución buscada

ii)

La ecuación de clairaut, haciendo y’ = p luego derivando tenemos

…..(3)

Se obtiene p’ = 0 p = C , reemplazando en y

…….(4)

para hallar la solución singular de (3) obtenemos

pero p = C …..(5)

Reemplazando en (4) y dividiendo (5) y (6), eliminamos C

….(6)

Solución:……………………

6. Encontrar la familia de curvas que satisface la siguiente condición por un punto cualquiera la tangente intercepta ambos ejes formando un triángulo de área constante.

Sea la recta tangente

…….. (1)

Para hallar a y b de la figura tenemos

X = 0 , y = b

X = a , y = 0

Sea A, el área del triangulo, luego

Reemplazando en (1), tenemos la ecuación

……(2)

Que es clairaut, derivando

Reemplazando en (2)

….(4)

Para eliminar “p” multiplicamos (3) y (4)

Solución …………….

7. Una curva que se halla en el primer cuadrante para por el punto A(0,1) si la longitud del arco comprendido entre A(0,1) y un punto de la curva P(x,y), es numéricamente igual al área limitada por la curva el eje X, el eje Y y la ordenada del punto P(X,Y) encontrar la ecuación de curva.

Solución : la condición de problema dice

S = A Del gráfico, y del cálculo elemental, tenemos

Derivando respecto de x, y despejando y’

Antes de separar variables, nótese que cuando , es decir , se cumple la ecuacion (1), pues . separando las variables e integrando

Pero , lo cual hace mas fácil despejar y

El +, desaparece por la propiedad

...