TEMA I: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

TEMA I: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1.1. Definición de función. Dominio, rango y gráfica.

Al relacionar objetos e interactuar con personas de nuestro entorno, se puede establecer una regla de correspondencia que asocie a los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto. Así, por ejemplo:

• Para cada número del documento nacional de identidad personal hay una persona.

• A cada libro de matemáticas le corresponde por lo menos un autor.

• Para cada país de América del sur hay un presidente.

• Para cada hijo existe una madre.

En matemáticas estamos interesados en un tipo especial de correspondencia: una correspondencia con valor único denominada función.

“Sean X e Y conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X a Y es una regla de correspondencia que asigna a cada número real x de X exactamente un número y de Y” (Larson& Edwards, 2010, p. 19). El concepto de función es fundamental dentro de la matemática y la identificación de la misma requiere la identificación de los elementos que la caracterizan: una regla de correspondencia, el dominio de la función y el rango de la misma.

La regla de correspondencia establece la relación entre los elementos de los conjuntos X e Y.

El dominio de f, denotado por D f, es el conjunto X. El número y es la imagen de x por f y se denota mediante f(x), a lo cual se le llama el valor de f en x. El recorrido o rango de f, denotado por R f, se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X. En la figura 1 se visualizan estos tres elementos.

Fuente: elaboración propia

La variable x se denomina variable independiente, mientras que la variable y se denomina variable dependiente.

Gráfica de una función

La gráfica de una función y = f(x) está formada por todos los puntos (x, f(x)), donde x pertenece al dominio de f.

Fuente: elaboración propia

Para hacer la gráfica de una función es muy importante conocer el dominio de la misma o un intervalo que esté contenido en su dominio.

¿Cómo para hacer la gráfica de una función?

Para graficar una función y = f(x), primero se determina su dominio, luego se elige un intervalo en este dominio y se construye una tabla asignando a x valores dentro del intervalo y calculando con la ecuación y = f(x) los valores correspondientes de y. En un sistema de coordenadas se grafican los pares ordenados obtenidos en la tabla y luego se unen con una curva suave para obtener la gráfica de la función y = f(x) en el intervalo seleccionado. La siguiente figura visualiza el procedimiento descrito.

Fuente: elaboración propia

1.2. Algebra de funciones

Las funciones reales al igual que los números reales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Si f y g son dos funciones dadas con dominios Df y Dg respectivamente, definimos las siguientes operaciones con funciones reales:

Las operaciones como la adición, la multiplicación y el cociente de dichas funciones nos permiten generar nuevas funciones con una estructura más compleja que las funciones elementales. Sin embargo, una operación muy importante entre funciones es la composición. La función resultante recibe el nombre de función compuesta

Función compuesta

Sean f y g dos funciones. La función f o g, que se lee f compuesta con g, se define como (f o g) (x) = f (g(x)) se llama función compuesta de f con g.

El dominio de f o g es el conjunto de todas las x del dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f.

Actividad de análisis y comprensión

Observa el siguiente vídeo: La función compuesta de "f" con "g" puede no ser igual a la función compuesta de "g" con "f".

URL del video:

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=orDntRpxuvs#

Después de haber observado detenidamente el vídeo responde a las siguientes preguntas:

1.3. Funciones elementales

Muchos fenómenos de la vida real pueden representarse a través de modelos matemáticos, construidos a partir de una colección de funciones denominadas funciones elementales. Estas funciones se dividen en tres categorías “1. Funciones algebraicas (polinómicas, radicales, racionales). 2. Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.). 3. Funciones exponenciales y logarítmicas.”(Larson& Edwards, 2010, p. 24). La siguiente figura presenta dicha clasificación de las funciones.

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