El estudio de la cinemática

CINEMÁTICA

1.- Magnitudes del movimiento.

1.1.- Vector de posición.

1.2.- Vector desplazamiento.

1.3.- Velocidad media e instantánea.

1.4.- Aceleración media e instantánea.

1.5.- Componentes intrínsecas de la aceleración.

2.- Tipos de movimiento.

2.1.- Movimiento rectilíneo.

2.2.- Movimiento uniforme.

2.3.- Movimiento con aceleración constante.

2.3.1.- Movimiento rectilíneo uniformemente variado.

2.3.2.- Tiro parabólico.

2.4.- Composición de movimientos.

2.5.- Movimiento circular. Magnitudes angulares.

2.6.- Movimiento circular uniforme.

2.7.- Movimiento circular uniformemente variado.

1. MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO.

1.1. VECTOR DE POSICION.

En el estudio del movimiento o Cinemática nos iremos al caso más sencillo: el del móvil puntual. Se llama así a todo móvil que puede considerarse un simple punto por tener un tamaño muy pequeño comparado con el del entorno en el que se mueve.

La primera cuestión que se plantea es cómo determinar la posición de un móvil. El concepto "posición de un cuerpo" sólo tiene significado si se define con relación a otro u otros cuerpos, que constituyen lo que llamamos un sistema de referencia. Así por ejemplo, en medio del océano o en un desierto de arena puede resultarnos imposible conocer nuestra posición; ello se debe a la falta de referencias fijas y reconocibles.

Cuando un móvil puntual se desplaza a lo largo de una recta, basta un punto fijo O de ella como referencia. La posición del móvil se determina por su distancia a O, con signo positivo o negativo según se encuentre a uno u otro lado de dicho punto de referencia. A esta distancia, afectada de su correspondiente signo, la llamaremos abcisa del móvil y la simbolizaremos por X:

x

O P

Pero si el móvil puede ocupar cualquier posición en el espacio, utilizaremos como elementos de referencia tres ejes de coordenadas rectangulares OX, OY y OZ. La posición de un móvil puntual se determina entonces mediante su vector de posición que se define como el vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en la posición del móvil.

Z

P

O

Y

X

Simbolizaremos por al vector de posición. Sus componentes son las coordenadas (x,y,z) del móvil puntual, y lo expresaremos como:

La elección del sistema de referencia es fundamental, ya que un movimiento puede ser sencillo o complejo dependiendo del mismo. Los ejes de coordenadas los imaginamos siempre ligados a uno o varios cuerpos reales, como si estuvieran rígidamente unidos a ellos. Lo más frecuente será suponer los ejes de coordenadas ligados a la Tierra; diremos entonces que la Tierra es el sistema de referencia. Pero no siempre será así; por ejemplo, si pretendemos estudiar el movimiento de un cuerpo dentro de un vagón de tren en marcha, puede ser más conveniente adoptar unos ejes de coordenadas unidos a su suelo y a sus paredes; en este caso, diremos que hemos tomado como sistema de referencia el vagón.

• Con el ejemplo anterior se pone de manifiesto que la posición de un cuerpo siempre es relativa, es decir, depende del sistema de referencia que estamos utilizando. Cuando un cuerpo se mueve, varía su posición al transcurrir el tiempo y por tanto, todo movimiento es relativo, lo que significa que cualquier cuerpo puede tener al mismo tiempo diferentes clases de movimiento, según el sistema de referencia que se adopte. Por ejemplo, un pasajero que permanece sentado en el interior de un automóvil en marcha se encuentra en reposo con relación al vehículo, pero en movimiento con respecto a la Tierra.

1.2. VECTOR DESPLAZAMIENTO.

Para poder abordar el estudio del movimiento es necesario expresar el cambio de posición de un móvil. Imaginemos un móvil puntual que se encuentra inicialmente en la posición P0 y se desplaza hasta la posición final P siguiendo una trayectoria cualquiera. El cambio de posición que ha experimentado se representa mediante el llamado vector desplazamiento. Lo definiremos como el vector que tiene su origen en la posición inicial del móvil y su extremo en la posición final.

El móvil al pasar de P0 a P puede

Z P0 seguir varias trayectorias.

P

O

Y

X

En la figura anterior, los vectores y son los vectores de posición final e inicial, respectivamente, del móvil puntual y O es el origen de coordenadas. El vector desplazamiento será: = - , ya que

Es decir, el vector desplazamiento es la diferencia entre el vector de posición final y el inicial, o lo que es lo mismo, el incremento del vector de posición.

• En la definición del vector desplazamiento sólo intervienen las posiciones inicial y final del móvil, por tanto, es independiente de la trayectoria seguida para pasar de una a otra posición.

• No hay que confundir el módulo del vector desplazamiento con el espacio o distancia recorrida que es la longitud de la trayectoria. En un movimiento de subida y bajada o, en un movimiento circular al dar una vuelta completa, el módulo del vector desplazamiento es cero, mientras que el espacio recorrido no lo es.

1.3. VELOCIDAD MEDIA E INSTANTÁNEA.

• Se llama velocidad media al desplazamiento que realiza un móvil por unidad de tiempo entre dos instantes dados.

Si los instantes inicial y final corresponden a los tiempos t0 y t, el vector velocidad media se puede expresar como:

De la fórmula se deduce que el vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento ( ). ( Figura 1) ya que es un escalar positivo

P

P0 P

P0 P

P

( Fig. 1 ) ( Fig. 2 )

• La velocidad media en un intervalo de tiempo infinitesimal (infinitamente pequeño) recibe el nombre de velocidad instantánea. La velocidad instantánea es, por tanto, el límite de la velocidad media en un intervalo de tiempo infinitesimal, es decir, cuando t tiende a 0 ( t  0).

Si llamamos al vector velocidad instantánea:

=

la velocidad instantánea es la derivada del vector de posición respecto al tiempo.

Recordando que el vector de posición es: = x + y + z

llamando Vx, Vy y Vz a las componentes escalares del vector velocidad, podemos escribir la anterior igualdad de la siguiente forma:

• Al módulo del vector velocidad se le llama rapidez o celeridad del movimiento.

• Como vimos anteriormente (figura 1), la dirección de la velocidad media es la secante a la trayectoria entre dos instantes. Si se consideran intervalos de tiempo cada vez menores, la dirección de la velocidad media llega a confundirse con la de la tangente a la trayectoria en el punto inicial. (figura 2). Matemáticamente esto sólo sucede cuando el incremento de tiempo es infinitesimal, es decir, para la velocidad instantánea.

Por tanto, podemos resumir la velocidad instantánea de la siguiente manera:

- es la derivada con respecto al tiempo del vector de posición

- es un vector tangente a la trayectoria en el punto donde se encuentra el móvil, y sentido el del desplazamiento del móvil.

Ejercicio Resuelto nº

...