El teorema de Bayes

Investigar el teorema de bayes y anexar 2 ejemplos que involucren el teorema, favor que los ejemplos no sean iguales entre los compañeros. Anexar referencias bibliográficas. Consultar en libros.

El teorema de bayes.

La regla de Bayes es solo una técnica para calcular probabilidades condicionales, y como regla de probabilidad es indiscutible, así como su validez. A partir de un conjunto de probabilidades llamadas "a priori" o "sin corregir", calcula un conjunto de probabilidades "a posteriori" o "corregidas" que no son más que una modificación de las primeras ante la evidencia de que un determinado suceso ha ocurrido.

La fórmula de Bayes sirve para el cálculo de las probabilidades conocidas P(Ak/B), en donde los sucesos Ak de un sistema completo {A1, A2, An} de sucesos con respecto un suceso B de probabilidad, Entonces la fórmula para la ley de Bayes sería la siguiente:

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En forma más general y simplificada y haciendo uso de la notación de la referencia, en donde k es igual a i en la referencia, siendo en este caso i un signo para la sumatoria, la formula queda de la siguiente manera:

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EJEMPLOS

Ejemplo 1

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Solución

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El Teorema o Regla de Bayes ofrece un método para invertir el evento que condiciona a otro evento al calcular una probabilidad condicional: si A y B son eventos y se conocen P(A | B), P( B ), P(A | Bc ), entonces la regla permite calcular P( B | A ). La necesidad de calcular este último valor a partir de la información disponible es imprescindible para entender las consecuencias de algunas de nuestras decisiones.

Ejemplo 1

Una fábrica de botellas cuenta con dos máquinas para producir 10,000 botellas al día. La máquina A produce 6,500 botellas diarias de las cuales 2% son defectuosas. La máquina B produce 3,500 botellas cada día de las cuales 1% son defectuosas. El inspector de calidad de la compañía selecciona una botella al azar y encuentra que está defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la botella haya sido producida por la máquina A?

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Para visualizar mejor los datos, se representan en un diagrama de árbol. Denote por A el evento de que la botella seleccionada haya sido producida por la máquina A y por B el evento de que haya sido producida por la máquina B. El evento de que la botella seleccionada sea defectuosa se denota por D, mientras que su complemento Dc representa una botella que no es defectuosa.

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