El teorema de Bayes

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL[pic 1][pic 2]

                    FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

                       CARRERA DE INGENIERIA COMERCIAL

                TRABAJO DE INVESTIGACIÓN DE ESTADÍSTICA

                                                       TEMAS:

• TENDENCIA BAYESIANA Y FRECUENTISTA
• TÉCNICAS DE CONTEO

                                                                 ESTUDIANTES:

                                       URGILES MOROCHO CINTHYA ANABELL

DOCENTE:

MORALES VERGARA JOSE ROBERTO

AULA: 3-3 INGENIERÍA COMERCIAL

GUAYAQUIL-GUAYAS-ECUADOR

CICLO II

2018 - 2019

Tendencias Bayesianas y No Bayesianas

Dentro del campo estadístico uno de los principales conceptos a estudiar es el tema de probabilidades, en el cual se presentan dos grandes tendencias que en los últimos años se han vuelto punto de estudio y de debate. Por un lado tenemos a la interpretación clásica o frecuentista,  el cual basa su estudio en  la probabilidad real de las cosas, prediciendo en qué medida es verosímil que ciertos eventos ocurran basándose en el patrón observado hasta el momento. Por otro lado, tenemos la interpretación bayesiana, que se desarrolla en base al Teorema de Bayes, enfrascado en un conocimiento limitado de las cosas, esta tendencia afirma que sólo se asocia una probabilidad a un evento porque hay incertidumbre sobre el mismo, es decir, porque no se conoce todos los hechos. En el presente trabajo se desarrollarán y analizarán cada uno de estos temas de estudio.

Tendencia Bayesiana: Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes dentro de la denominada teoría de la probabilidad, es una propuesta planteada por el reverendo Thomas Bayes, un matemático inglés en el siglo XVIII, en el cual expresa “la probabilidad de carácter condicional sobre un evento aleatorio dada cierta información de antemano  sobre el suceso a estudiar” (Vincenzo, 2008).  Bayes fue figura de algunos trabajos relacionados con la teología, destacando sobretodo sus tratados matemáticos, de los cuales sobresale el ya mencionado Teorema a desarrollar a continuación.

Definición

El Teorema de Bayes es un procedimiento que nos permite expresar la probabilidad condicional de  un evento aleatorio A dado B, en términos de la distribución de probabilidad del evento B dado A y la distribución de probabilidad de solo A (Riquelme, 2016). Mediante este Teorema se puede relacionar la probabilidad de que un evento A suceda sabiendo que ocurrió B, con la probabilidad de que ocurra lo contrario, es decir, que ocurra B dado A.

Este Teorema además da respuesta sobre cuestiones de tipo causal, predictivas y de diagnóstico. En lo que respecta a situaciones causales se determina la probabilidad de acontecimientos que son la consecuencia de otros acontecimientos, así mismo pasando a las cuestiones predictivas la probabilidad es en base a información de acontecimientos predictores y por último en las cuestiones de tipo diagnóstico la probabilidad se da a partir de la información de las consecuencias.

Expresión Algebraica

Bayes propuso su Teorema  como una probabilidad probatoria que evalúa la probabilidad de una hipótesis, y se lo expresa de la siguiente manera:

[pic 3]

En donde:

• P (Ai): Probabilidad a priori de un suceso “A”.

Probabilidad a priori: En inferencia estadística Bayesiana, una distribución de probabilidad a priori de una cantidad p desconocida, es la distribución de probabilidad que expresa alguna incertidumbre acerca de p antes de tomar en cuenta los "datos".

• P (Ai/B): Probabilidad a posteriori de un suceso “A”, (cuando se obtiene la información de que ha ocurrido un suceso B).

Probabilidad a posteriori: la probabilidad a posteriori de un evento aleatorio es la probabilidad condicional que es asignada después de que la evidencia es tomada en cuenta.

• P (B/Ai): Verosimilitudes del suceso “B” son supuestos que habrían de ocurrir a cada suceso Ai.

Ejercicio de Aplicación

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?                                  Figura 1, Probabilidad que no haya ningún incidente[pic 4]

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.

                                                                                              Fuente: Estadística y Probabilidad

[pic 5][pic 6]

La probabilidad de que no haya habido ningún incidente es de 0.157

Análisis Bayesiano

La estadística bayesiana, al contrario que la estadística frecuentista que se fundamenta en la idea de cuantificar la probabilidad de un suceso a partir de la frecuencia relativa de aparición, parte de la noción de que la probabilidad representa el grado de creencia que otorgamos al suceso en cuestión. La diferencia entre ambas, pues, es una cuestión de concepto de probabilidad. Para la estadística clásica o frecuentista la probabilidad es un concepto objetivo, que se encuentra en la naturaleza, mientras que para la estadística bayesiana se encuentra en el observador, siendo así un concepto subjetivo. De este modo, en la estadística clásica solo se toma como fuente de información las muestras obtenidas, mientras en caso bayesiano, además de la muestra, también juega un papel fundamental la información previa o externa que se posee en relación a los fenómenos que se pretenden modelizar. (Somiedo, 2010)

Dentro de la tendencia Bayesiana, dos de los conceptos más importantes son el de probabilidad inversa (estrechamente relacionado con la probabilidad condicional) y el axioma de verosimilitud.

• Probabilidad Inversa: Este principio asevera que la probabilidad de una causa dado un efecto es distinta de la probabilidad de un efecto dada una causa.
• Axioma de Verosimilitud: En el marco de un modelo estadístico, un conjunto particular de datos apoya a una hipótesis estadística mejor que a otra si la probabilidad de la primera hipótesis, sobre los datos, es superior a la probabilidad de la segunda hipótesis.

Aplicación del Teorema de Bayes en diferentes ámbitos

Mediante esta fórmula  diferentes grupos de investigadores y corporaciones diversas se han beneficiado en cuanto a mejoras de sistemas. Por ejemplo:

En el área de Medicina, en cuanto al estudio de enfermedades se puede discernir la probabilidad de que una enfermedad sea encontrada en un grupo de personas, tomando como  base las tasas globales de la enfermedad. Por otro lado, en el área informática encontramos al asistente de Microsoft Office en el cual el teorema de Bayes ayuda al software a evaluar los problemas que presenta el usuario y determinar qué consejo proporcionarle y así poder ofrecer un mejor servicio según los hábitos del usuario. (Universidad de Valencia, 2010)

Tendencia No bayesiana: Estadística Frecuentista

Definición.-

“La probabilidad de que ocurra un evento es la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra ese evento, si fuera repetido muchas veces” (Serra, 2006). Es decir,  la estadística frecuentista es la que se acostumbra a utilizar y se centra únicamente en el cálculo de probabilidades generando un rechazo hacia las hipótesis, siempre dentro del marco de estudio que se esté realizando.

Ejemplo:

Sea el experimento aleatorio: lanzamiento de una moneda. Cuando se lanza una moneda al aire sólo hay dos resultados posibles, cara o sello. El resultado no se puede predecir de antemano y variará cuando se lance en forma repetida, sin embargo se observa una cierta regularidad en los resultados, una regularidad que sólo emerge después de “muchas repeticiones”.

...