Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

¿Qué es?

     Enunciado por el matemático inglés Thomas Bayes (1702-1761).

     Es un sistema de cálculo de probabilidades (publicado póstumamente en 1763), pero hecho de forma inversa a cómo se calculan habitualmente.

     Es un teorema cuyo uso está orientado al cálculo de probabilidades de determinados sucesos, teniendo la información necesaria sobre dicho suceso.

¿Qué encontramos en el teorema de Bayes?

     El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.

     A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.

     Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

¿Cuál es su utilidad?

     Su utilidad se ha demostrado, a diferencia de la estimación estadística tradicional, como un modo de variar nuestras expectativas según la experiencia concreta que tenemos sobre algo, lo que tiene mucha utilidad en diversos campos, desde la medicina, el juego de azar y hasta el tratamiento informático de datos.

¿Qué se tiene en cuenta?

    Tiene en cuenta la información que conocemos que se ha producido en determinado entorno con determinados factores para saber cuáles de esos factores han producido esas consecuencias. En otras palabras, conociendo las consecuencias que se producen, podemos calcular sus orígenes (siempre en porcentajes) y la probabilidad de que se hayan producido en uno u otro grupo.

La fórmula del Teorema de Bayes es:

[pic 1]

• A y B son eventos y, además: P(B) ≠ 0.
• P(A|B): es la probabilidad de que ocurra A, dado que ha ocurrido B.
• P(B|A): es la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A.
• P(A): es la probabilidad de que ocurra A.
• P(B): es la probabilidad de que ocurra B.

Diagrama de árbol:

     El diagrama de Árbol, también conocido como diagrama de jerarquía, análisis de árbol y diagrama sistemático, es la herramienta que tratamos hoy.

     Es una herramienta de calidad que a través de un proceso sistemático nos permite hallar la relación existente entre un concepto general y los elementos que lo componen.

Ejemplos:

1.- En un taller, se elaboran 1000 camisetas de fútbol. A partir de la siguiente tabla, calcular:

[pic 2]

La probabilidad de que una camiseta seleccionada al azar esté defectuosa. [pic 3]

P(C|D) = 5,08*0,92 + 3,15*1,17

P(C|D) = 10,24%

La probabilidad de que al seleccionar una camiseta al azar esté dañada es de 10,24%

2.- En el consultorio de Jorge, el 40 % de los pacientes fingen tener una enfermedad (para obtener un certificado médico). Además, el 10 % de los pacientes del consultorio son hombres. La probabilidad de que un paciente finja una enfermedad dado que es hombre, es del 50 %. Calcular la probabilidad de que un paciente sea hombre, dado que finge una enfermedad.

-P(A) = 0,4

-P(B) = 0,1

-P(A|B) = 0,5

-P(B|A) = ?

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

En un acuario se tiene solo 2 especies de peces. El 40% de los peces son de la especie azul, y el 60% son de la especie roja. De la especie azul, el 30% son machos, mientras que de la especie roja, el 40% son hembras. a) Si se selecciona un pez hembra. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la especie azul?

-P(A) = 0,4 [pic 7]

-P(R) = 0,6

-P(M|A) = 0,3

-P(H|A) = 0,7

-P(M|R) = 0,6

-P(H|R) = 0,4

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

En las elecciones de un país hay 2 candidatos a la presidencia, el candidato A y el candidato B, y en los resultados de las selecciones de este país se sabe que un 75% de la población es de clase media o baja y un 25% es de clase alta, si por el candidato A voto un 90% de la clase alta y un 5% de la clase media y baja, y se elige una persona al azar de los que votaron por el candidato A ¿Cuál es la probabilidad que este sea de la clase media o baja?

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