El valor y el límite de la función

LIMITES

El resultado de un límite es un valor de y en una función cuando el valor de x se aproxima mucho a un valor dado sin llegar a ser igual a él. Es acercarse mucho a un valor en x para determinar el valor de y. En funciones continuas, se límite se puede resolver sustituyendo. Por ejemplo, al buscar el límite se quiere conocer el valor que tomará la recta cuando el valor de x se acerque mucho a 2.

Ejemplo 1.

Sea la función . Utilizar las representaciones tabular y gráfica para encontrar .

Se busca aproximarse mucho al valor de x=0 sin llegar exactamente a éste valor. Para la representación tabular se aproximará tanto por la derecha como por la izquierda para mostrar que el resultado es el mismo.

x

-1 5

-0.1 2.03

-0.01 2.0003

-0.001 2.000003

x

1 5

0.1 2.03

0.01 2.0003

0.001 2.000003

Tanto del lado de los positivos como del lado de los negativos, conforme el valor de x se aproxima a 0, el valor de y=f(x) se acerca a 2.

En la representación gráfica de la función se puede observar que si se aproxima al valor de x=0, el valor de y se aproxima, a su vez, a 2.

Ejemplo 2.

Sea la función discontínua . Se quiere saber que cual es el valor de conforme x se acerca a un valor de 4.

Se quiere resolver el . Es una función discontínua, pero el valor al que se quiere aproximar a x se encuentra lejos de la discontinuidad. El límite se podría resolver sustituyendo el valor dado

Ahora, comprobaremos el resultado analizando las representaciones tabular y gráfica de la función.

x

3.5 0.45

3.9 0.453704

3.99 0.454463

3.999 0.454537

x

4.5 0.458333333

4.1 0.455357143

4.01 0.454627949

4.001 0.454553718

Tanto por la derecha como por la izquierda, conforme el valor de x se acerca a 4, el valor de la función se acerca a 0.4545. En la representación gráfica mostrada a continuación también se observa dicha tendencia.

Se dice que un límite existe cuando el resultado del límite por la derecha y el del límite por la izquierda son números reales que coinciden, esto es, el límite por la derecha es igual al límite por la izquierda.

Ejemplo 3.

Sea . Encontrar el límite de la función cuando x tiende a 1.

La representación gráfica de la función es

en donde se observa que aunque la función cambia de comportamiento en el punto x=1, no se rompe. Para que el límite exista se requiere que el límite por la derecha sea igual al límite por la izquierda: estos se llaman límites unilaterales.

Si se toma el límite por la izquierda, esto es, desde los números negativos hacia los positivos, la función con la que se está trabajando es la recta dado que

El signo menos como exponente en indica que se aproxima desde el lado izquierdo. Ahora, por el lado derecho,

Dado que el límite por la derecha es igual al límite por la izquierda, se dice que el límite de la función existe y vale 3: . Este resultado se puede ver en la representación gráfica puesto que conforme x se acera a 1, el valor de f(x) se acerca a 3.

Ejemplo 4.

Sea . Encontrar el límite de la función cuando x tiende a -2.

Si se toma el límite por la izquierda, esto es, desde los números

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