Funcion Valor Absouto

A partir de las respuestas de los alumnos se presentara el tema: Función Valor Absoluto

Recordaremos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia.

Se escribe: |x| y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

Propiedades del valor absoluto:

No negatividad: el módulo de un número no puede ser negativo.

|a|=a |-a|=a Ej. |2|=2 |-2|=2

Diferencia positiva: el módulo de un número es cero.

Si |a|=0 a=0

Multiplicativa.

|a.b|=|a|.|b| Ej. |-2.3|=|-2|.|3| |-6|=2.3 6=6

Aditiva.

|a+b|≤|a|+|b|

Identidad de indiscernibles.

Si |a-b|=0 a=b Ej. |2-2|=0

Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

Fórmula:

|x| x si x≥0

-x si x<0

Se explicará con el siguiente ejemplo: f(x)=|x|

Se aplicará la formula f(x)=|x| x si x ≥0

-x si x <0

Para hallar las raíces se despeja x

x ≥0 x <0

Luego para graficar con más precisión se realiza una tabla de valores para darle valores a “x”

X y=|x|

-3 3

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

Una vez obtenido el grafico se puede indicar el dominio, imagen, intervalo de crecimiento y de decrecimiento de la función dada.

Dm f(x) = R Im f(x)= [0;∞^+) Int de crecimiento (0;∞^( + )) Int de decrecimiento (-∞;0)

Algunas variantes a partir del desplazamiento de la función base:

f:R→R /f(x)=|x-k|

f:R→R /f(x)=|x|+k

f:R→R /f(x)=-|x-k|

f:R→R /f(x) =|x+3|+2

Para realizar los diferentes desplazamientos se aplicara el método de seleccionar a un alumno para que complete la tabla de valores, luego se pedirá a otro alumno que pase al pizarrón a graficar la función dada. Una vez realizado el grafico se hará la puesta en común entre todos.

f(x)=|x+4| Aplicando la formula se encuentran los intervalos

Im f(x) =[0;├ +∞) ┤ x+4≥0→x≥-4 entonces el cero es x=- 4

-x-4<0→x>- 4

Intervalo de crecimiento= (-4;∞^+ )

Intervalo de decrecimiento=(-∞; -4)

Como 4 es positivo, el gráfico se desplaza hacia la izquierda, si fuera negativa se desplazaría hacia la derecha.

f(x)=|x|+2

Im f(x) = [ 2;├ +∞) ┤ como 2>0,no tiene ceros

|x|+ 2 x+2≥0→x≥ -2 ; -x+2 <0→-x<-2→x>2

Intervalo de crecimiento x_1= (0; ∞^± ) Intervalo de decrecimiento x_1=(-∞;0)

Se dará un ejemplo si k es negativo.

f(x)=-|x-2|

Im f(x) =(-∞;├ 0] ┤ el cero es x≥2 porque x-2≥0→x≥2

-x+2<0 → -x<-2 →x >2

Intervalo de crecimiento= (-∞;2)

Intervalo de decrecimiento=(2; ∞^+)

El signo negativo

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