El vector de Poynting

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Capítulo 6

Vector de Poynting y Sección Eficaz[pic 2]

Un gran número de trabajos recientes centran su atención en los fenómenos causados por la interacción entre la luz y los metales. Algunos de ellos son acerca de resonancia de plasmones, propagación de luz en nanoarreglos como cristales fotónicos, aplicaciones en el área optoeléctrica y muchos más.

Varios trabajos experimentales muy recientes e incluso teóricos han mostrado resultados significativos acerca de estos fenómenos, y en particular sobre alambres con radio del orden de la longitud de onda o mucho menores. Sin embargo han dejado de lado la importancia de las relaciones de dispersión como medio para saber dónde excitar los modos de una estructura, en nuestro caso, cilíndrica[13,14,16,26].

En la presente tesis, nos hemos apoyado en el trabajo que Pfeiffer, Economou y Ngai hicieron acerca de las relaciones de dispersión de un cilindro metálico aislado, pero además nuestra intención es relacionarlas con la sección eficaz de absorción cuando se incide luz en el nanocilindro de metal.

Para ello haremos incidir luz desde una fuente en un cilindro de plata, con sección transversal circular, sin tomar en cuenta restricciones a lo largo del eje x. Junto a esto, lograremos excitar los diversos modos del sistema colocando la fuente en diferentes distancias (del orden de la longitud de onda) a la superficie del metal.

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6.1. El vector de Poynting        49[pic 3]

Para lograr obtener la sección eficaz, haremos uso del vector de Poynting para calcular su integral con lo que obtendremos la energía por unidad de tiempo que entre o sale del sistema.

1. El vector de Poynting

El flujo de energía (con unidades de energía/área·tiempo, w/m2s) de un campo electro- magnético es conocido como el vector de Poynting y se expresa como

—→S (—→r , w) = 1 Re h—→E (—→r , w) × —→H × (—→r , w)i        (6.1.1)[pic 4]

donde —→S  representa un vector en la posición —→r  que proviene del promedio temporal de los campos complejos para las amplitudes de Fourier, cuya dirección y magnitud nos indica la energía por unidad de área y tiempo que están fluyendo por ese punto. Si integráramos el vector de Poynting alrededor de un área SO que encierra a un volumen V , la integral resultante nos dará la energía por unidad de tiempo que entra o sale de ese volumen al instante t.

Así pues, al incidir una fuente monocromática sobre un objeto, la luz saldrá en todas direcciones con la misma frecuencia y podemos calcular, entre otras cosas, la energía total que atraviesa a una superficie SO que encierra al sistema, empleando dicho vector de Poynting. La energía total al tiempo t, por unidad de tiempo estaría dada como

U (t) =[pic 5]

S0

—→S (—→r , t) · n^ ds        (6.1.2)

con n un vector unitario apuntando hacia afuera de V , cuya superficie es SO. Si U (t) > 0[pic 6]

la energía sale del volumen, y viceversa.

Si integramos U (t) entre tO y t, el resultado sería la energía total saliente de V en ese intervalo de tiempo. Si U (t) es periódico, entonces es conveniente calcular la cantidad

50        6. Vector de Poynting y Sección Eficaz[pic 7]

promediada, de la forma

    1                t[pic 8]

v =

U (t) dtj        (6.1.3)

t — tO        t0

donde v es energía por unidad de tiempo. Nótese también que los campos de la forma

—→E (x, t) = —→E O cos(wt — —→h · —→r )x[pic 9]

vector de Poynting de la forma

y        —→H (x, t) = —→H O cos(wt — —→h · —→r )x^,        dan lugar a un

—→S (—→r , t)   =   —→E O—→H O cos2  wt — —→h  · —→r   x^ × x^

=   —→E O—→H O cos2  wt — —→h  · —→r   (—y^)

y promediando sobre un periodo de tiempo podemos obtener el flujo promedio de energía por unidad de área y tiempo. Para campos más generales, tales como haces, campos pulsados, entre otros, v nos daría la energía promedio por unidad de tiempo. Para encontrar la relación entre U (t) y U (w) debemos tomar la transformada de Fourier. Entonces[pic 10]

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