INTEGRALES INDEFINIDAS, DEFINIDAS. AREAS BAJO LA CURVA.

Integral indefinida

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Tabla de integrales

a, e, k, y C son constantes; u es una función y u' es la derivada de u.

Si u = x (u' = 1), tenemos una tabla de integrales simples:

Integrales inmediatas

Integral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Integral de cero

Integral de una potencia

Ejercicios

Integrales logaritmicas y exponenciales

Ejercicios

Integrales trigonométricas

Ejercicios

Integrales trigonométricas inversas

Ejercicios

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.

Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 4/3.

Resolver las siguientes integrales:

1

2

3

4

5

6

7

8

Calcular las integrales:

1

2

3

4

5

6

7

8

Resolver las siguientes integrales exponenciales

1

2

3

4

5

6

7

Calcular las integrales:

1

2

3

4

5

6

7

Resolver las integrales:

1

2

3

4

5

6

Calcular las integrales:

1

2

3

4

5

6

Resolver las integrales:

1

2

3

4

5

Calcular las integrales:

Escribe la función primitiva de y = x² + 2x cuya representación gráfica pasa por él punto (1, 3).

Hallar una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.

Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por él punto P(0, 4).

f '(x) = 2

f(x) = 2x + C

4 = 2 • 0 + C

f(x) = 2x + 4

Calcular la ecuación de la curva que pasa por P(1, 5) y cuya pendiente en cualquier punto es 3x² + 5x − 2.

Hallar la primitiva de la función , que se anula para x = 2

Integración por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Ejemplos

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

Integrales racionales

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:

1º Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

Ejemplo

Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

2º Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción puede escribirse así:

Ejemplo

Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.

...