En aplicaciones avanzadas de la ingeniería

4 ESPACIOS VECTORIALES

[pic 1]

En aplicaciones avanzadas de la ingeniería, por ejemplo, el análisis de mecanismos y la robótica, se requiere de la representación de cuerpos rígidos y su manipulación en términos del tiempo; dicho de otra forma, necesitamos operar vectores que no serán constantes, sino variarán en función del tiempo. Uno de los conceptos matemáticos que permiten este tipo de desarrollos son los vectores y sus diferentes espacios, de ahí el nombre del capítulo.

4.1 VECTORES

La descripción anterior se basa en el supuesto que el lector ya conoce los conceptos relacionados con vectores; como esto podría no ser cierto, analizaremos algunos conceptos básicos para reafirmar y recordar conceptos importantes de los vectores.

Un vector es un elemento matemático que permite a un conjunto de números o símbolos agruparse para representar algo en la realidad.

Para aprender más: La definición anterior se basa en el uso ingenieril de un vector, y puede resultar incompleta estrictamente hablando. ¿Qué otras definiciones matemáticas y físicas existen para un vector?

El ejemplo más sencillo y a la vez más común es usar un vector de tres elementos para representar la ubicación de una partícula (p. ej. un punto) en el espacio de tres dimensiones respecto a un punto de referencia. Esto se muestra en la figura 1.

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Figura 1 El efector final de este brazo robótico está 100 unidades hacia adelante en X, 60 unidades hacia la derecha (del brazo) en Y, y 50 unidades hacia arriba en Z. Obtenido con SolidWorks y Paint.

Aquí el vector está en ℝ3, y representa la distancia entre el punto que está en el efector final y el que está en la base, que es donde se cruzan las tres flechas de colores que representan los ejes [pic 3], [pic 4] y [pic 5].

En el sentido geométrico, además de la posición (a lo cual se le llama coordenadas), se tienen dos parámetros importantes: Una magnitud y una orientación. A estos parámetros se les conoce como módulo y dirección, respectivamente.

4.1.1         Representaciones de un vector

Dependiendo la aplicación, se pueden requerir diversas formas de representación de un vector. En el plano, existen dos representaciones básicas: La forma rectangular y la forma polar.

La forma rectangular utiliza únicamente las coordenadas de los ejes del plano (que suelen ser [pic 6] y [pic 7]). Se puede mostrar como las coordenadas de [pic 8] y [pic 9] separadas con una coma, como sigue:

𝑉̅ = (2,3) 

O como una suma entre los elementos anteriores, pero multiplicados por un valor vectorial llamado vector unitario, el cual indica en qué dirección se debe interpretar cada valor. En este caso, el vector se representa como: 𝑉̅ = 2𝑖̂ + 3𝑗̂ 

𝑖̂ es el vector unitario en [pic 10], representa un vector (1,0). Asimismo, 𝑗̂ es el vector unitario en [pic 11], representa un vector (0,1). En el futuro regresaremos a esta definición cuando hablemos de bases para espacios vectoriales.  

La forma polar depende del módulo y dirección del vector en vez de sus coordenadas o posición. Por ejemplo, en la figura 2 se muestra el vector   𝑉̅ = 2𝑖̂ + 3𝑗.̂ 

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Figura 2 Vector 𝑉̅ = 2𝑖̂ + 3𝑗̂. Obtenido con GeoGebra.  

Observe la lista de la derecha, en especial al término 𝑢 = (3.61,56.31°) . Lo que estamos viendo es la representación polar, donde los números ya no son las coordenadas, sino la distancia que hay entre el origen y el punto de coordenadas (2,3) y el ángulo existente entre la línea horizontal y la flecha del vector.

Para obtener los valores anteriores se recurre a la trigonometría, notando que el vector con puntos iniciales A y B puede formar dos triángulos rectángulos con los ejes [pic 13] y [pic 14], como se muestra en la figura 3.

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Figura 3 Triángulos rectángulos para  𝑉̅ = 2𝑖̂ + 3𝑗̂. Obtenido con GeoGebra y Paint.  

Nótese que se conocen las longitudes de los catetos (las líneas en verde) porque sus longitudes son iguales a las coordenadas expresadas en el vector; así, la línea horizontal tiene longitud 2, y la vertical, 3. Entonces, se pude plantear el valor de la hipotenusa, o módulo del vector, como:

[pic 16] 

Que en el caso particular del vector de la figura 2 y 3 se sustituye como sigue:

[pic 17] 

La ecuación anterior es válida para hallar el módulo de un vector de 2 dimensiones. Más adelante se planteará una ecuación general para vectores de n dimensiones.

Si aplicamos trigonometría, se encontrará el ángulo que forma el eje x (horizontal) y el vector; al conocer las longitudes de los catetos, se sabe que:

[pic 18]              [pic 19] 

En el caso del vector del ejemplo, se tiene que:

[pic 20] 

Para vectores de tres dimensiones, se pueden plantear dos o tres ángulos según la representación; para mayores dimensiones, no es posible determinar ángulos ya que estos vectores dejan de tener significado gráfico (afortunadamente estos ángulos serían de muy poca utilidad para este tipo de vectores así que no será necesario conocer definiciones al respecto).

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