Ensayo De Analisis Y Estadistica

BREVE HISTORIA DEL ANÁLISIS Y LA ESTADÍSTICA

La estadística es la parte de las matemáticas que se ocupa de los métodos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis.

En la antigüedad los egipcios hacían censos de las personas y de los bienes inmuebles que permitían conocer la distribución de las propiedades para volver a restituirlos después de la inundación anual que provoca el río Nilo. En la biblia hay referencias a censos del pueblo judío. Los griegos y los romanos hacían censos de personas y de propiedades.

El análisis ha sido durante cientos de años una de las ramas mas importantes de la matemática, y las ecuaciones diferenciales constituyen la parte centra, del análisis, además es la que mejor permite comprender las ciencias físicas y la técnica. Las cuestiones que plantean proporcionan una fuente de teorías e ideas que permiten avanzar el pensamiento.

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad.

Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento.

El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculo se construye con base en el algebra, la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales, calculo diferencial y calculo integral, que están relacionados por el teorema fundamental del calculo

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo, fueron ellos quienes dieron los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos. Sin la contribución de muchos hombres no existiera.

El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

EL CÁLCULO INFINITESIMAL

Se basa en principios geométricos, que luego se formalizaron como análisis. Durante mas de 2000 años el nombre de Euclides era sinónimo de geometría sus sucesores desarrollaron sus ideas, especialmente en su trabajo sobre secciones cónicas, pero no hicieron cambios radicales en el propio concepto de geometría. En esencia, se suponía que solo puede haber una geometría, y que esta es una descripción matemática exacta de la verdadera geometría del espacio físico.

EL AVANCE DE LAS MATEMATICAS

El avance más importante de las matemáticas fue el cálculo infinitesimal alrededor de 1680 por Isaac Newton y Gottfried Leibniz de forma independiente.

Se basa en principios geométricos, que luego se formalizaron como análisis. Durante mas de 2000 años, el nombre de Euclides era sinónimo de geometría sus sucesores desarrollaron sus ideas, especialmente en su trabajo sobre secciones cónicas, pero no hicieron cambios radicales en el propio concepto de geometría. En esencia, se suponía que solo puede haber una geometría, y que esta es una descripción matemática exacta de la verdadera geometría del espacio físico.

En 1800 matemáticos y físicos habían desarrollado el caculo infinitesimal como una herramienta indispensable para el estudio del mundo natural, y los problemas que surgieron de esta relación llevaron a una riqueza de nuevos conceptos y métodos como: maneras de resolver ecuaciones diferenciales.

La belleza y potencia del cálculo infinitesimal se habían hecho innegables. El inicial uso displicente de series infinitas, sin considerar su significado, producía absurdos tanto como buenas ideas. Los fundamentos de Fourier eran inexistentes y diferentes matemáticos proclamaban demostraciones de teoremas contradictorios. Palabras como << infinitesimal>> eran discutidas sin estar definidas. Evidentemente estas circunstancias insatisfactorias no podían continuar indefinidamente.

PARA QUE LES SERVIA EL CALCULO INFINITESIMAL

Uno de los primeros usos del cálculo infinitesimal fue en el problema de la forma un puente colgante. La cuestión era controvertida: algunos matemáticos pensaban que la respuesta era una parábola, pero otros discrepaban. La más clara era la de Bernouilli. El escribió una ecuación diferencial para describir la posición de la cadena, basada en la mecánica newtoniana y las leyes del movimiento de Newton.

El mensaje principal de los Principia de Newton no eran las leyes de la naturaleza especificas que el descubrió y utilizo, sino de que tales leyes existen, junto con la prueba de que la manera de modelar matemáticamente la leyes de la naturaleza es con ecuaciones diferenciales.

PARA QUE NOS SIRVE EL CALCULO INFINITESIMAL

Se utiliza rutinariamente para calcular las trayectorias de las sondas espaciales, tales como la misión Mariner a Marte, las dos naves Pionner que exploraron el sistema solar y nos dieron maravillosas imágenes de Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, y los recientes vehículos robóticos de seis ruedas Mars Rovers Spirit y Opportunity que exploraron el planeta Rojo.

La misión Cassini que actualmente, que actualmente explora Saturno y sus Lunas. Entre sus descubrimientos esta la existencia de lagos de metano y etano liquido en Titán, una luna de a

PARA QUE NOS SIRVEN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

Hay un vínculo directo entre la ecuación de ondas y la radio y la televisión y la radio y la televisión. Una simple deducción a partir de las ecuaciones de Maxwell lleva a la ecuación de ondas. Este calculo muestra que la electricidad y el magnetismo pueden viajar juntos con una onda, a la velocidad de la luz. Por lo tanto la luz es una onda electromagnética. La tecnología creció como una bola de nieve. La televisión y el radar se basan también de ondas electromagnéticas. También lo hacen la navegación por satélites GPS, los teléfonos móviles y las comunicaciones por computador inalámbricas.

CAPITULO 8

EL SISTEMA DEL MUNDO

LA INVENCION DEL CACULO INFINITESIMAL

EL SISTEMA DEL MUNDO

Newton hizo del calculo infinitesimal una técnica capital de la disciplina en ciernes de la física matemática, Newton llamo a su teoría <<el sistema del mundo>>, la comprensión en la naturaleza consistía básicamente en las ideas de Galileo sobre los cuerpos den movimiento.

Los Principia Mathematica, apenas mencionan el calculo infinitesimal; en su lugar, se basa en una inteligente aplicación de la geometría al estilo de los antiguos griegos. Pero las apariencias engañan: documentos inéditos conocidos como los <<papeles de Portsmouth>>, es probable que Newton utilizase los métodos del cálculo infinitesimal para hacer muchos de sus descubrimientos pero decidió no presentarlos de esta forma. Su versión fue publicada después de su muerte en el Método de fluxiones de 1732.

CALCULO INFINITESIMAL

El cálculo infinitesimal es la matemática de las tasas de cambio instantáneas, proporciona métodos para calcular las tasas de cambio y tiene muchas aplicaciones geométricas, en particular encontramos tangentes a curvas.

El cálculo infinitesimal trata de funciones: Procedimientos que toman un número general y calculan un número asociado.

La primera idea clave del cálculo infinitesimal es la diferenciación, que obtiene la derivada de una función. La derivada es la tasa que esta cambiando x: la tasa de cambio de f(x) con respecto a x.

La principal cuestión conceptual aquí es definir lo que se entiende por <<limite>>. La otra idea clave en el cálculo infinitesimal es la integración. Esto se ve más fácilmente como el proceso inverso de la diferenciación. Así la integral de g, escrita g(x)dx es cualquier función cuya derivada es g(x)

LA NECESIDAD DEL CÁLCULO INFINITESIMAL

La inspiración para la creación del calculo infinitesimal llego de dos direcciones, el calculo diferencial se desarrolló a partir de métodos para encontrar tangentes a curvas, y el calculo integral se desarrolló a partir de métodos para calcular las áreas de figuras planas y los volúmenes solidos. Pero el estimulo vino de la física: una comprensión creciente de que la naturaleza tiene pautas. Por ello solo tienen sentido, y solo pueden describirse, gracias al calculo infinitesimal.

El modelo mas preciso del movimiento del Sol, la Luna y los planetas era el Ptolomeo. En su sistema la Tierra estaba fija, y todo lo demás a su alrededor.

El sistema de Ptolomeo, conocido como epiciclos, que reemplazaba las esferas por círculos, pero retenía el movimiento compuesto.

El modelo de Hiparco no era muy preciso, comparado con las observaciones, pero el modelo de Ptolomeo encaba muy bien en las observaciones y durante mas de mil años se vio como la ultima palabra sobre el tema.

DIOS FRENTE A CIENCIA

Alrededor del año 1000, algunos pensadores árabes y europeos empezaron a preguntarse si el movimiento diario del Sol podría explicarse por una tierra en rotación, y también jugaron con la idea de que la tierra da vueltas alrededor del Sol.

En la Europa, el rehacimiento de la actitud científica empezó a arraigar, y una de las primeras victimas fueron los dogmas religiosos.

En esa época la Iglesia católica romana ejercía un control sustancial sobre la visión del universo de sus seguidores. Lo importante era que se creyera que la naturaleza correspondía a una lectura muy literal a la biblia. Se veía la tierra como el centro de todas las cosas, la base solida al cual giraban los cielos, y los seres humanos eran el pináculo de la creación.

Ninguna observación científica puede refutar la existencia de un creador desconocido e invisible.

COPÉRNICO

Biografia

Nació el 19 de febrero de 1473 en la ciudad de Thorn (en la actualidad Torun), Prusia, Polonia.

Cursó estudios en la Universidad de Cracovia (1491-1494), donde se formó bajo las directrices del matemático Wojciech Brudzewski. Posteriormente viajó a Italia para estudiar Derecho y Medicina. En enero de 1497 comienza sus estudios en Derecho Canónico en la Universidad de Bolonia, se doctoró en Astronomía en Roma. También estudió Medicina en Padua. Sin haber finalizado Medicina, se licenció en Derecho Canónico en la Universidad de Ferrara en 1503. Copérnico hablaba latín y alemán con fluidez, además de griego e italiano. A lo largo de su vida se convertiría en matemático, astrónomo, jurista, físico, clérigo católico, gobernador, administrador, líder militar, diplomático y economista.

Formuló la teoría heliocéntrica del Sistema Solar, basada en los estudios de Aristarco de Samos (310 a.C.–230 a.C.). Su teoría establecía que la Tierra giraba sobre sí misma una vez al día, y que una vez al año daba una vuelta completa alrededor del Sol. Además afirmaba que la Tierra, en su movimiento rotatorio, se inclinaba sobre su eje. Una de sus aportaciones fue el nuevo orden de alineación de los planetas según sus periodos de rotación.

Nicolás Copérnico publico un libro sorprendente, original y algo herético: Sobre las revoluciones de las esferas celestes. A diferencia de Ptolomeo, el colocaba al sol en el centro incluida la Tierra pero excluida la Luna, giraba alrededor del Sol. Solo la luna giraba alrededor de la Tierra.

Copérnico comprendió que si todos los epiciclos ideados por Ptolomeo se transferían a la Tierra, solo uno de ellos era necesario. Ahora interpretamos esto en términos del movimiento de los planetas con respecto a la Tierra.

Otra ventaja de la teoría de Copérnico era que trabajaba a todos los planetas exactamente de la misma manera. Ptolomeo necesitaba mecanismos diferentes para explicar los planetas internos y los planetas externos. Ahora, la única diferencia era que los planetas internos estaban más cerca del sol que la Tierra, mientras que los externos estaban mas lejos.

KEPLER

Cuando Brahe murió Kepler quien paso años analizando las observaciones en busca de pautas. Era una especie de místico en la tradición pitagórica y tendía a imponer pautas artificiales en los datos observacionales. En su época los planetas conocidos eran seis: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Jupiter, Saturno. Kepler se preguntó si sus distancias al Sol seguían una pauta geométrica. El descubrimiento de mas planetas fue un golpe definitivo para este tipo particular de busca de putas y lo envio al cubo de la basura de la historia. Kepler descubrió que algunas pautas que aun reconocemos como genuinas, ahora llamadas <<Leyes de Kepler del Movimiento planetario>>

GALILEO

Nació cerca de Pisa el 15 de febrero de 1564. Estudió con los monjes en Vallombroso y en 1581 ingresó en la Universidad de Pisa para estudiar medicina. Al poco tiempo cambió sus estudios por la filosofía y las matemáticas, abandonando la universidad en 1585 sin haber llegado a obtener el título.

El físico y astrónomo italiano Galileo Galilei (1564-1642) sostenía que la Tierra giraba alrededor del Sol, lo que contradecía la creencia de que la Tierra era el centro del Universo. Se negó a obedecer las órdenes de la Iglesia católica para que dejara de exponer sus teorías, y fue condenado a reclusión perpetua. Junto con Kepler, comenzó la revolución científica que culminó con la obra de Isaac Newton. Su principal contribución a la astronomía fue el uso del telescopio para la observación y descubrimiento de las manchas solares, valles y montañas lunares, los cuatro satélites mayores de Júpiter y las fases de Venus.

En el campo de la física descubrió las leyes que rigen la caída de los cuerpos y el movimiento de los proyectiles. En la historia de la cultura, Galileo se ha convertido en el símbolo de la lucha contra la autoridad y de la libertad en la investigación.

Galileo Galilei, quien descubrió regularidades matemáticas en el movimiento de un péndulo y en los cuerpos que caen. En 1589, como profesor realizo experimentos con cuerpos que caían rodando por un plano inclinado, pero no publico sus resultados.

Se dedico a la astronomía e hizo una serie de descubrimientos fundamentales que finalmente le llevaron a adoptar la teoría Copérnico del sol como centro del sistema solar. Escribió los Discursos y Demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias, donde explicaba su trabajo sobre el movimiento de cuerpos en planos inclinados. Estableció que la distancia que recorre un cuerpo inicialmente en reposo que se mueve con aceleración uniforme es proporcional al cuadrado del tiempo.

LA INVENCION DEL CÁLCULO

Resultado de una serie de investigación para: calcular la velocidad instantánea de un objeto en movimiento a partir de la distancia que ha recorrido en cualquier instante dado, encontrar la tangente una curva. La longitud de una curva, los valores máximos y mínimo de una magnitud variable.

LEIBNIZ

Leibniz dedicó buena parte de su vida a las matemáticas, la lógica, la filosofía, la historia y muchas ramas de la ciencia. En 1673 empezó a trabajar en el problema clásico de encontrar la tangente a una curva, y advirtió que este era en efecto el <<problema inverso>> al encontrar áreas y volúmenes.

Leibniz utilizo esta relación para definir lo que, de hecho, eran integrales utilizando la abreviatura omn. Tales como omn x^2 = x^3/3.

En 1675 había sustituido omn por el símbolo  aún utilizado hoy, una letra s alargada al viejo estilo, que representa <<sum>> utilizaba su razón para determinar la tasa de cambio de y como función de x, Leibniz escribía dy = f(x + dx) – f(x), de modo que dy/dx=(f(x+dx)-f(x))/dx.

En 1677 dedujo reglas para diferenciar la suma, el producto y el cociente de dos funciones, y en 1680 había obtenido la fórmula para la longitud de un arco de curva.

NEWTON

Isaac Newton nació en las primeras horas del 25 de Diciembre de 1642 del antiguo calendario, correspondiendo al 4 de Enero del actual calendario gregoriano, en el mismo año que muere Galileo Galilei, en la pequeña aldea de Woolsthorpe en Lincolnshire, Inglaterra.

Científico inglés. Fundador de la física clásica, que mantendría plena vigencia hasta los tiempos de Einstein, la obra de Newton representa la culminación de la revolución científica iniciada un siglo antes por Copérnico. En sus Principios matemáticos de la filosofía natural (1687) estableció las tres leyes fundamentales del movimiento y dedujo de ellas la cuarta ley o ley de gravitación universal, que explicaba con total exactitud las órbitas de los planetas, logrando así la unificación de la mecánica terrestre y celeste.

Newton

El creador del cálculo infinitesimal fue Isaac Newton, sus amigos Barrow Edmomd Halley le animaron a publicar su extraordinario trabajo pero le disgustaba ser criticado y cuando en 1672 publico sus ideas sobre la luz, su trabajo publico una tormenta de críticas, que reforzó su renuncia de llevar sus ideas a la imprenta. Publico esporádicamente y escribió dos libros. En privado desarrollo sus ideas sobre la gravedad. En 1686 consiguió salvar esta dificultad, y los <<Principia>> vieron la luz del día en 1687. Contenían más nuevas ideas. Las más importantes eran las leyes matemáticas del movimiento que extendían la obra de Galileo.

La ley de movimiento de Newton afirma que la aceleración de un cuerpo en movimiento, multiplicada por su masa, es igual ala fuerza que actúa sobre el cuerpo. Ahora bien, la velocidad es la derivada de la posición, y la celebración es la derivada de la velocidad.

La ley de la gravedad afirma que todas las partículas de la naturaleza se atraen unas a otras con una fuerza que es directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

Newton dedujo a partir de las tres leyes de Kepler del movimiento planetario. La deducción publicada era una obra maestra de geometría euclidiana clásica. Entre su obra anterior sobre el tema había un articulo titulado sobre el análisis por medio de ecuaciones con un numero infinito de términos.

El enfoque de newton para calcular derivadas era muy similar a la de Leibniz, salvo que el utilizaba o en lugar de dx y por ello su método adolece del mismo problema lógico.

En 1671 escribió un tratamiento más extenso, el método de fluxiones y series infinitas. El primer libro sobre el cálculo infinitesimal no se publico hasta 1711, en el segundo apareció en 1736. En 1671 newton poseía la mayor parte de las ideas básicas del cálculo infinitesimal.

El cálculo se convirtió entonces en una disciplina más sutil, << el análisis>>. Pero durante siglos después de la invención del cálculo infinitesimal, nadie excepto Berkeley se preocupo tanto por sus fundamentos lógicos.

El calculo infinitesimal era demasiado importante como para quedar en suspenso por unos pocos reparos lógicos.

Asociados con la diferenciación está el proceso inverso, <<la integración >> La integral de f(x), escrita  f(x) dx, es cualquier función que da f(X) cuando es diferenciada. Geométricamente representa el área bajo la grafica de la función f La integral definida ∫_a^b▒f(x)dx es el área bajo la gráfica entre los valores x = a y x = b.

LOS INGLESES SE QUEDAN REZAGADOS

Newton empezó a pensar en el cálculo infinitesimal en 1665, pero no publico nada sobre el tema hasta 1687. Leibniz empezó a trabajar en el cálculo infinitesimal en 1687 y publico sus primeros artículos sobre el tema en 1684. Los dos trabajaban de forma independiente.

Al publicar sobre estos temas, algunos amigos de Newton se sintieron agraviados – probablemente se le adelantaron a Newton y acusaron a Leibniz de robar las ideas de Newton. Los matemáticos continentales saltaron en defensa de Leibniz sugiriendo lo contrario, cuando en realidad los dos habían trabajo de forma independiente. El resultado fue un desastre para las matemáticas inglesas. El estilo de Newton era difícil de usar, mientras que el estilo de Leibniz empleaba métodos algebraicos más formales e hizo avanzar la disciplina con rapidez. Mientras que las matemáticas inglesas languidecían en un remanso.

LA ECUACION DIFRENCIAL

La idea mas importante que emergió del aluvión de trabajo sobre el calculo infinitesimal era la existencia, y la utilidad, de un nuevo tipo de ecuación: La ecuación diferencial, debemos resolver la ecuación diferencial para encontrar y. Dos integraciones sucesivas dan la solución.

y=((g^2 y))/2m y+at+b, Donde b es la partícula y a es su velocidad inicial.

Los esfuerzos pioneros de Copérnico, Kepler, Galileo y otros científicos del Renacimiento llevaron al descubrimiento de pautas matemáticas en el mundo natura. De estos primeros inicios emergió la noción de que vivimos en un <<universo mecánico>> que marcha según reglas rígidas e inquebrantables a pesar de la oposición de la Iglesia Romana.

El gran descubrimiento de Newton fue que las pautas de la naturaleza parecen manifestarse no como regularidades en ciertas magnitudes sino como relaciones entre sus derivadas. Las leyes de la naturaleza están escritas en el lenguaje del cálculo infinitesimal.

CAPITULO 9

FORMULANDO LAS LEYES DE LA FISICA

ECUACIONES DIFERENCIALES

Los matemáticos se centraron en encontrar formulas explicitas para soluciones de tipos particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias. En cierto modo eso fue desafortunado porque la atención se centro en las escasas ecuaciones que podía resolverse pr una formula de este tipo antes que en ecuaciones que podían resolverse por una formula de este tipo como la ecuación diferencial.

ORDINARIAS Y OARCIALES

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) se refiere a una ecuación desconocida y de un sola variable x y relaciona varias derivadas de y, tales como dy/dx y d^2/dx^2

Una ecuación semejante se refiere a una función desconocida y con dos o mas variables, tal como y(x,t) donde x e y son coordenadas espaciales y t es el tiempo. Las ecuaciones diferenciales parciales EDP relaciona esta función con expresiones en sus <<derivadas>> con respecto a cada una de las variables.

(ϑ^2 y)/(ϑt^2 )=(a^2 (∂^2 y))/(∂x^2 )

ECUACION DE ONDAS

Hoy llamamos ecuación de hondas EDP de d’ Alembert e interpretamos su solución como una superposición de honda colocadas en forma simétrica, una moviéndose con velocidad a y otra con velocidad –a (es decir viajando en direcciones opuestas). Se han convertido en una de l as ecuaciones más importantes en física matemática porque las hondas aparecen en muchas circunstancias diferentes. Euler examino el artículo y trato de mejorarlo, Euler calificaba como funciones discontinuas.

En un articulo anterior publicado en 1749 Euler señalo que (por simplicidad tomaremos la longitud de la cuerda igual a 1) las funciones periódicas impares mas imples son funciones trigonométricas

f(x) = sen x, sen 2x,sen 3x, sen 4x, …

la comparación de La solución de Euler de la ecuación de ondas con la solución D’ Alembert llevo a una crisis fundacional. D’ Alembert no reconocía la posibilidad de funciones discontinuas en el sentido de Euler. Además parecía haber un defecto fundamental en el trabajo de Euler, porque las funciones trigonométricas son continuas, y así son todas las superposiciones (finitas) de ellas.

MUSICA, LUZ, SONIDO Y ELECTROMAGNETISMO

Los antiguos griegos sabían que una cuerda vibrante puede producir muchas notas musicales deferentes, dependiendo de la posición de los <<nodos>>, o puntos en reposo. Si la cuerda tiene uno nodo en su centro, entonces produce una nota una octava mas alta; y cuantos mas nodos haya mayor seria la frecuencia de la nota.

Las vibraciones de una cuerda de violín son ondas estacionarias: la forma de la cuerda en cualquier instante es la misma, excepto que esta estirada y comprimida en una dirección perpendicular a su longitud.

En 1759 Euler extendió estas ideas de las cuerdas a tambores. Su interpretación física es que la aceleración de una parte pequeña de la membrana es proporcional a la tensión media ejercida sobre ella por las partes vecinas de la membrana. Un tambor es una membrana bidimensional plana – sino en que tiene un contorno mucho más interesante.

Los matemáticos del siglo XVIII fueron capaces de resolver las ecuaciones para el movimiento de tambores de varias formas. Encontraron que todas las vibraciones pueden construirse a partir de unas más simples, y que daban una lista especifica de frecuencias.

La ecuación de ondas es extraordinariamente importante, no solo en instrumentos musicales, en la física, en la luz y el sonido.

ATRACCION GRAVITATORIA

Otra explicación importante de las EDP aparición en la teoría de la atracción gravitatoria, conocida como teoría del potencia. El problema motivador fue la atracción gravitatoria de la Tierra, o de cualquier otro planeta.

Colin Maclaurin publicó en 1742 el Tratado de fluxiones. Su primer paso consistía en demostrar que si un fluido de densidad gira con velocidad uniforme, bajo la influencia de su propia gravedad, entonces la forma de equilibrio es un esferoide oblato un elipsoide revolución. Luego estudio las fuerzas atractivas generadas por tal esferoide, con tal esferoide, con éxito limitado. Su resultado principal era que si dos esferoides tienen los mismos focos, y si una partícula yace en el plano ecuatorial o en eje de revolución entonces la fuerza ejercida sobre ella por uno u otro esferoide es proporcional a sus masas.

CALOR Y TEMPERATURA

A comienzos del siglo XIX la ciencia del flujo del calor se estaba convirtiendo en un tema de gran interés práctico, principalmente a causa de las necesidades de la industria metalúrgica, pero también a un creciente interés de la estructura del interior de la Tierra y en particular la temperatura en el interior del planeta.

En 1807 Joseph Fourier envió un artículo sobre el flujo del calor a la Academia Francesa de Ciencias, pero los recensores lo rechazaron porque no estaba suficientemente desarrollado. En 1824 Fourier se desquito: fue nombrado secretario de la Academia inmediatamente publico su artículo de 1811como una memoria.

El primer paso de Fourier consistió en derivar una EDP para el flujo del calor. Con varias hipótesis simplificadoras: el cuerpo debe ser homogéneo e isótropo, y demás, llego a lo que ahora llamamos la ecuación del calor, que describe como cambia con el tiempo la temperatura en cualquier punto de un cuerpo tridimensional.

Fourier resolvió la ecuación del calor para una barra y cuyos límites se mantienen a temperaturas fijas. La analogía con los armónicos es sorprendente .El resultado del trabajo de Fourier es que cuandoquiera que desarrollamos la distribución inicial de temperatura en serie de Fourier una serie de funciones senos y cosenos como lo anterior, entonces podemos leer inmediatamente cómo fluye a través del cuerpo conforme pasa el tiempo.

El argumento de Fourier para la existencia de un desarrollo en senos y cosenos era complicado, confuso y muy poco riguroso. Se paseo por todas las matemáticas para deducir, finalmente, una simple expresión para los coeficientes b sub1, b sub2, b sub3…..

Si llamamos f(x) a la distribución inicial de temperatura su resultado era

b_n=2/π ∫_0^π▒f(u)sen(nu)du

DINAMICA DE FLUIDOS

Esta es un área de enorme importancia práctica porque estas ecuaciones describen el flujo del agua alrededor de los submarinos, del aire alrededor de los aviones e incluso el flujo de aire alrededor de los coches de Formula 1.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

En 1788 Lagrange publicó su Mecanique analytique, donde afirma orgullosamente que <<no se encontraron figuras en esta obra. Los métodos que expongo no requieren construcciones, ni argumentos geométricos o mecánicos, sino solo operaciones algebraicas, sujetas a un curso regular y uniforme >>. La insistencia en el tratamiento formal de la mecánica inspiro una nueva unificación de la disciplina, en términos de <<coordenadas generalizadas>>.

En el caso de un péndulo, por ejemplo, la coordenada usual es el ángulo que cuelga el péndulo, pero la distancia horizontal entre la lenteja y la vertical serviría igualmente.

Hamilton mejoró la idea de Lagrange, haciéndola mas elegante. Desde el punto de vista físico el utilizaba el momento en lugar de la velocidad para definir las coordenadas extra. Desde el punto de vista matemático el definió una magnitud ahora denominada “ha miltoniano” que puede interpretarse en muchos sistemas como energía.

LOS FISICO SE HACEN MATEMATICOS

Los principia de Newton impresionantes. Los matemáticos abordaron toda la panoplia de la física: sonido, luz, calor, flujo de fluidos, gravitación, electricidad, magnetismo. En cada caso dieron con ecuaciones diferenciales que describían la física de forma precisa.

Es justo decir que la invención por parte e Newton de las ecuaciones diferenciales desarrolladas por sus sucesores en los siglos XVII y XIX es en muchos aspectos responsable de la sociedad en que vivimos.

CAPITULO 11

FUNDAMENTOS FIRMES

DANDO SENTIDO AL CÁLCULO

FOURIER

Antes de que se entrometiera Fourier, los matemáticos eran felices creyendo saber lo que era una función, pero cuando se les pedía una definición los matemáticos solían ser algo vagos.

En particular no sabían como manejar funciones discontinuas, otra fuente de dificultad eran las funciones complejas, donde como hemos visto funciones naturales como la raíz cuadrada son bivaluadas, y los logaritmos son infinitamente multivaluadas.

Fourier quien realmente les provocó con su sorprendente idea de describir cualquier función como una serie infinita de senos y cosenos, desarrollada en su sentido de flujo de calor.

La intuición física de Fourier le decía que su método debería ser muy general. El método de Fourier de las series trigonométricas, aplicado a una función <<discontinua>> de este tipo parecía dar resultados perfectamente razonables. Las barras de acero suavizaban realmente la distribución de temperatura tal como especificaba la solución de la ecuación del calor, obtenida utilizando series trigonométricas, la función f(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario.

Poco a poco los matemáticos del siglo XIX empezaron a separar las diferentes cuestiones conceptuales en esta difícil área. Una era el significado del termino <<función>>. Otra eran las diversas maneras de representar una función: una formula una serie de potencias, una serie de Fourier o lo que sea. Una tercera era que propiedades poseía la función. Una cuarta era que representaciones garantizaban qué propiedades.

El análisis de Fourier se convirtió rápidamente en el test para las ideas sobre el concepto de función, fue un articulo sobre series de Fourier, en 1873, donde Dirichlet introdujo la definición moderna de una función, el coincidía con Fourier: una variable y es una función de otra variable x si para cada valor de x (en un rango en particular) hay especificado un único valor de y.

FUNCIONES CONTINUAS

Ahora los matemáticos estaban cayendo en la cuenta de que a veces enunciaban definiciones del termino <<función>>, tenían el habito de suponer propiedades extra que seguían la definición.

La persona que hizo el intento serio de ordenar este revoltijo fue sacerdote, filósofo y matemático bohemio. Su nombre era Bernhard Bolzano. El dio una base lógica a la mayoría de los conceptos básicos del cálculo infinitesimal. Había una excepción importante, y es que daba por hecha la existencia de los números reales. Insistía en que los números infinitesimales y los números infinitamente grandes no existían, y que por ello no podía utilizarse por muy sugerentes que puedan ser. Y dio la primera definición efectiva de una función continua: f es continua si la diferencia f(x+a) – f(x) puedan hacerse tan pequeña como queramos escoger a suficientemente pequeño.

Utilizando esta definición, Bolzano demostró por primera vez que una función polinómica es continua. Pero durante 50 años nadie lo advirtió. Bolzano había publicado su trabajo en unan entrevista que los matemáticos apenas leían ni tenían acceso a ella.

LIMITES

Las ideas de Bolzano dieron impulso a estas. El hizo posible definir el límite de una secuencia infinita de números, y a partir de ellos la suma de una serie infinita.

De una secuencia que tiene un límite finito se dice que es convergente. Una suma infinita se define como imite de la secuencia de sumas finitas obtenida añadiendo cada vez más términos. Si dicho límite existe, la serie es convergente.

Los límites precisamente como mantenía Newton, tratan a que se aproximan ciertas cantidades cuando otro número se aproxima a infinito o a 0. El no tiene que llegar a infinito o a 0.

Todo cálculo infinitesimal descansaba ahora en un fundamento solido. El inconveniente era que cuando se utilizaba un proceso de paso a límite, había que asegurarse de que convergía. La mejor forma de hacerlo era demostrar teoremas cada ves mas generales sobre que tipos de funciones son continuas, o diferenciales, o integrales.

UNA BASE FIRME

Hoy día la mayoría de los usuarios de las matemáticas ignoran una vez mas tales sutilezas, con la seguridad de que <<han sido ordenadas>> y de algo que parece razonable es muy probable que tengan la justificación rigurosa. Tienen que estar agradecidos a Bolzano, Cauchy y Weierstrass por esta confianza. Mientras los matemáticos profesionales siguen desarrollando conceptos rigurosos acerca de procesos infinitos. Hay incluso un movimiento por reavivar el concepto de un infinitesimal, conocido como el análisis no estándar, y es perfectamente riguroso y técnicamente útil en algunos problemas que de un u otro modo resultan intratables.

CAPITULO 17

LA FORMA DE LA LOGICA

ASENTAR FIRMEMENTE LOS CIMIENTOS DE LAS MATEMATICAS

Los matemáticos habían dedicado tanto esfuerzo al descubrimiento de propiedades profundas de los números que habían olvidado preguntar que eran los números.

DEDEKIN

En 1858 Dedekind se preocupó por la base del cálculo infinitesimal. Publicó sus pensamientos en 1872 cono stetigkeit and Irracionales Zahlen, donde señalaba que propiedades aparentemente obvias de los números reales nunca habían sido demostradas de una manera rigurosa. Puso de manifiesto serias lagunas en los fundamentos lógicos del sistema de los números reales. Nadie había probado realmente que existieran los números reales. Propuso una forma de llenar estas lagunas, utilizando lo que hoy llamamos cortaduras de Dedekind. Consiste en partir de un número establecido, los números racionales, e entonces tirar de este sistema para obtener el sistema más rico de los números reales.

Dedekind demostró que si, por razón del argumento, suponemos que existen los números reales, entonces con cualquier numero real puede asociarse una cortadura que satisface estas propiedades, formando el conjunto R de todos los racionales que son mayores que el numero real y el conjunto L de todos los racionales y el conjunto L de todos los racionales que son menores o iguales que dicho numero real.

Finalmente tenemos que verificar que la aritmética de cortaduras tienen todas las propiedades que esperamos de los números reales. La belleza de la aproximación de Dedekind reside en que reduce todas las cuestiones concernientes a números reales correspondientes sobre números racionales y operaciones sobre dichos números.

AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS NATURALES

¿Cómo sabemos que los números naturales existen?

En 1889 Giusseppe Peano planteo la cuestión de la existencia siguiendo el ejemplo del libro de Euclides. Euclides simplemente escribía una lista de axiomas, una gran ventaja de aproximación axiomática es que señala exactamente lo que tenemos que demostrar si queremos probar, por medio u otro, que los <<números naturales>> existen. Solo tenemos que construir un sistema que satisfaga todos los axiomas de peano.

Nadie piensa que un símbolo es lo mismo que representa. La palabra “gato” escrita en tinto no es un gato. Tampoco el símbolo <<2>> es el numero <<2>>.

El significado de <<numero>> es un problema filosófico y conceptual sorprendentemente difícil. Sabemos como se comporta pero no sabemos lo que son.

CONJUNTO Y CLASES

LA PARADOJA DE ROUSSEL

La paradoja propuesta por Russell es la el barbero del pueblo, que afeita a todos los que no se afeitan a si mismo, entonces por definición es afeitado por el barbero del pueblo: ¡él mismo!

Si el se afeita a si mismo, entonces es afeitado por el barbero: que una ves mas, es él mismo.

En 1884 Gottlob publico su obra maestra donde todo se reducía a propiedades obvias de conjuntos “Los fundamentos e la aritmética” pero para su amarga decepción Georg Cantor, despacho su libro como obra de poco valor. En 1893, Frege, impasible publico el primer volumen de otro libro “Leyes básicas de la aritmética” en que ofrecía un sistema intuitivamente plausible de axiomas para la aritmética, diez años mas tarde todo estaba listo , Frege ya era consciente de un fallo básico en sus axiomas. Frege recibió una carta del matemático Bertrand Russell. En resumen la carta decía <<Querido gottlob, considere el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de si mismo. Suyo, Bertrand>>. Frege e inmediatamente capto la idea de Russell. Frege encontró una corrección de urgencia del dominio de los conjuntos a cualesquiera que sean miembros de si mismo.

CANTOR

TAMAÑO DE CONJUNTOS

El punto de partida de cantor era el concepto ingenuo de un conjunto, que es una colección de objetos, sus miembros, poniéndolos simplemente entre paréntesis.

Cantor tubo una idea trascendental demostró que el conjunto R de todos los números reales no tienen cardinal, un teorema sorprendente que el publico en 1874 .por ello incluso en el sentido especial de cantor hay mas reales que enteros.

¿Qué tamaño tiene el cardinal de los reales? Cantor esperaba que fuera 1, el siguiente cardinal más grande de 0. Pero no pudo demostrarlo, de modo que lo llamo al nuevo cardinal c, de <<continuum>>.

En 1960 los matemáticos no descubrieron la relación entre c y0, cuando Paul Cohen demostró que la respuesta depende de que axiomas escojamos para la teoría de conjuntos. Con unos axiomas razonables, los cardinales son iguales. Pero con otros axiomas, igualmente razonables, son diferentes.

CONTRADICCIONES

Podría parecer que una contradicción mínima tendría consecuencias limitadas. En la vida cotidiana la gente suele operar cómodamente dentro de un marco contradictorio. Pero en matemáticas las consecuencias no están limitadas, y no se pueden evitar las contradicciones lógicas. En matemáticas una ves que algo esta demostrado puede utilizarse en otras demostraciones.

El método estándar de <<demostraciones por contradicción>> significa que cualquier cosa puede ser demostrada una ves que hemos demostrado que 0 = 1

DAVID HILBERT

David Hilbert se graduo en la Universidad de königsberg en 1885 con una tesis sobre teoría de invariantes. Trabajo en la teoría de invariantes, demostrando su teorema de base finita en 1888 Klein calificó el trabajo de Hilbert como el <<trabajo mas importante sobre el algebra general que [la revista] ha publicado nunca>>

En 1989 había cambiado de nuevo de campo de investigación, y ahora estudiaba los fundamentos axiomáticos de la geometría euclidiana. En 1900 en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en Paris presento una lista de 23 problemas importantes no resueltos. Los cuales tuvieron un tremendo efecto en la dirección posterior de la investigación matemática.

También estuvo muy cerca de descubrir las Ecuaciones Einstein para la relatividad general en un artículo de 1915. Añadió una nota en pruebas al efecto de que el artículo era consistente con las ecuaciones de Einstein, lo que dio lugar a la errónea creencia de que Hilbert podría haberse anticipado a Einstein.

Hilbert tenia la costumbre de trabajar en una área de las matemáticas puliendo los problemas principales, se convenció de que debía ser posible demostrar que las matemáticas nunca pueden llevar a una contradicción lógica. También comprendio que la intuición física no seria útil en este proyecto. Si las matemáticas son contradictorias.

Hilbert llego a este punto de vista en su trabajo sobre la base axiomática de la geometría de Euclides. El descubrió fallos lógicos en el sistema de axiomas de Euclides, y comprendió que estos fallos habían aparecido porque Euclides había sido confundido por su imaginería visual.

Hilbert sostenía que una deducción lógica debe ser valida independientemente de la interpretación que se imponga. Todo esta basado en una interpretación particular de los axiomas que falle en otras interpretaciones, implica un error lógico.

Tras su éxito en geometría, Hilbert se propuso un proyecto mucho más ambicioso: colocar el conjunto de las matemáticas sobre una solida base lógica. Siguió de cerca el trabajo de lógicos destacados, y desarrollo un programa explicito para ordenar los fundamentos de las matemáticas e una vez por todas.

GÖDEL

En 1929 demostró que un sistema lógico restringido, el cálculo proposicional de primer orden, e s completo: todo teorema verdadero puede ser demostrado y todo teorema falso puede ser refutado. El más conocido por su demostración de los “Teoremas de incompletitud de Gödel”

El demostró también que algún os enunciados matemáticos no pueden ser demostrados ni refutados, tales enunciados se llaman indecibles

Una consecuencia intrigante de los descubrimientos de Gödel es cualquier sistema axiomático para las matemáticas debe ser incompleto: nunca se puede elaborar una lista completa de axiomas que determinen de forma univoca todos los teoremas verdaderos o falsos.

Los teoremas de Gödel cambiaron la forma en que vemos los fundamentos lógicos de las matemáticas. Implica que los teoremas actualmente no resueltos pueden no tener solución: no son verdaderos ni falsos, sino que están en el limbo de la indecibilidad. Y se ha demostrado que muchos problemas interesantes son indecibles.

La teoría de conjuntos llevo a avance importantes, incluido un sistema razonable, aunque heterodoxo, de números infinitos. También revelo algunas paradojas fundamentales relacionadas con la noción de un conjunto.

La resolución de dichas paradojas no fue como Hilbert lo esperaba, una reivindicación completa de las matemáticas axiomáticas y una demostración de su consistencia lógica. En su lugar, fue una demostración de que las matemáticas tienen limitaciones inherentes y de que algunos problemas no tienen solución. El resultado fue u cambio profundo en la forma de pensar sobre la verdad y la certeza matemática.

CAPITULO 18

¿CUÁN PROBABLE ES ESO?

LA APROXIMACION RACIONAL AL AZAR

HISTORIA DE LA ESTADISTICA

La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat » y Blaise Pascal » tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fue publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.

Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar. Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad

Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre », del teorema central del límite. En 1809 Gauss » inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace » publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar.

A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales

Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov » la definió de forma axiomática y estableció las bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una teoría más amplia como es la teoría de la medida.

EL CRECIMIENTO DE LAS MATEMATICAS EN EL SIGLO XX

Se ha descubierto nuevas matemáticas en los últimos 100 años. Una rama de las matemáticas especialmente novedosa es la teoría de la probabilidad, que estudia las probabilidades a suceso aleatorios, pero solo a comienzos del siglo XX emergió la teoría de probabilidades como una disciplina por si misma.

LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD

La teoría de las probabilidades es una rama mayor de las matemáticas, y su ala aplicada, la estadística, tiene un efecto importante en nuestra vida cotidiana. La estadística es una de las principales técnicas analíticas de la profesión medica, quizá es también el área de las matemáticas peor entendida y peor utilizada. Pero utilizada adecuada e inteligentemente, contribuye de forma importante al bienestar humano.

En el primer libro de Jakob Bernouilli titulado como “El arte de Conjeturar” definimos el arte de la conjetura, o arte estocástico, como el arte de evaluar lo mas exactamente posible de las probabilidades de las cosa.

Bernouilli daba por supuesto que un número cada vez mayor de ensayos llevaba a estimaciones de la probabilidad cada vez mejor. Bernouilli invento un ejemplo ilustrativo estándar, el de las bolas en urnas. Evidentemente creía que una razón 3:2 era el resultado razonable, aunque también reconocida que los experimentos reales solo se aproximan a esta razón. Pero creía que con suficientes ensayos esta aproximación se haría cada vez mejor.

El libro de Bernouilli contenía una riqueza de ideas y resultados importantes. Uno, La Ley de Los Grandes Números, decía exactamente en que sentido las razones de largas observaciones en ensayos corresponden a probabilidades. Básicamente demuestra que la probabilidad de que la razón no se aproxime mucho a la probabilidad correcta tiende a cero cuando el número de ensayos aumenta sin límite.

DEFINIENDO LA PROBABILIDAD

Un problema conceptual importante en la teoría de probabilidades era definir la probabilidad. Para ello es necesario saber qué es la probabilidad.

La salida de este punto muerto es una que se remonta a Euclides, y fue llevada a la perfección por los algebristas de finales del siglo XIX y principios del siglo XX. Axiomatizar. Dejar de preocuparnos por lo que son las probabilidades. Escribir las propiedades que queremos que posean las probabilidades y considerar que son axiomas. Y deducir de ello todo lo demás.

La pregunta era: ¿Cuáles son los axiomas correctos? Cuando las probabilidades se refieren a conjuntos de procesos finitos, esta pregunta tiene una respuesta relativamente fácil. Pero las aplicaciones de la teoría de la relatividad implican con frecuencia elecciones entre conjuntos de posibilidades potencialmente infinitos.

Los analistas definieron nociones cada vez más sofisticadas de lo que constituye una función <<integrable>> y lo que es una integra.

La clave para su definición era la “medida de Lesbegue”, que es una manera de asignar un concepto de longitud a subconjuntos muy complicados de la recta real.

PARA QUE NOS SIRVE LA PROBABILIDAD

Un uso muy importante de la teoría de probabilidades se da en los ensayos de nuevos medicamentos. Estos ensayos recogen datos de los efectos de los medicamentos: ¿parecen curar algún trastorno, o tienen efectos adversos indeseados? El problema se resuelve utilizando métodos estadísticos conocidos como comprobación de hipótesis. Estos métodos comparan los datos con un modelo estadístico y estiman la probabilidad de que el resultado aparezca por azar.

Las probabilidades son ahora una de las técnicas matemáticas mas ampliamente utilizadas, y se emplean en ciencia y medicina para asegurar que deducciones hechas a partir de observaciones son significativas y no pautas aparentes resultado de asociaciones casuales.

CAPITULO 19

MASCANDO NÚMEROS

MAQUINAS DE CALCULAR Y MATEMATICAS COMPUTACIONEALES

Los matemáticos han soñado siempre con construir maquinas para reducir cálculos rutinarios. Desde tiempos prehistóricos se utilizaron palos y guijarros como ayuda para hacer recuentos y las pilas de guijarros llevaron con el tiempo al ábaco, perfeccionado por los japoneses, el ábaco podía realizar aritmética básica de forma rápida y precisa en manos de un experto.

¿UN SUEÑO QUE SE CUMPLE?

LA APARICION DEL COMPUTADOR

En el siglo XXI, la llegada de los computadores electrónicos y la amplia disponibilidad de los circuitos integrados (chips) dieron a las maquinas una enorme ventaja, miles de millones o billones de operaciones por segundo.

Las maquinas anteriores eran mas modestas, pero ahorraban mucho tiempo y esfuerzo.

En 1642 Pascal invento la primera calculadora genuinamente mecánica, la Maquina Aritmética, realizaban sumas y restas pero no multiplicaciones ni divisiones. En 1671 Leibniz diseño una maquina para multiplicar, y construyo una en 1694, pues decía él: <<No es digno de hombres excelentes perder horas como esclavos en la labor de calculo, que podría ser relegada con seguridad a cualquiera si se utilizan maquinas>>

Una de las propuestas mas ambiciosas para una maquina de calcular fue hecha por Charles Babbage. Construyo un prototipo llamado motor de diferencias. Busco financiación del gobierno para maquinas mas elaboradas. Su proyecto más ambicioso el motor analítico, era de hecho un computador mecánico programable, pero no se llego a construir.

La primera calculadora producida en masa el <<Arithmometer>>, fue fabricada por Thomas de Colmar en 1820. Empleaba un mecanismo de <<tambor dentado>> y todavía se producía en 1920.el siguiente paso importante fue el mecanismo de <<rueda perforada>> del inventor sueco Willgodt T Odhner.

La llegada de potentes calculadoras electrónicas baratas en los años ochenta hizo obsoletas las calculadoras mecánicas, pero su uso en los negocios y el cálculo científicos pueden ser implementados numéricamente como largas series de operaciones aritméticas.

LAS COMPUTADORAS NECESITAN MATEMATICAS

Además de utilizar computadores como ayuda en las matemáticas, podemos utilizar las matemáticas como ayuda para los computadores.

Todos los computadores digitales hoy en uso trabajan en notación binaria, en la que los números se representan como cadenas de solo los dígitos: 0y 1.

Las matemáticas han ayudado a las ciencias de la computación, pero a cambio de las ciencias de la computación han sido motivo de nuevas y fascinantes matemáticas. La noción de algoritmo un procedimiento sistemático para resolver un problema es una de ellas. Una pregunta esencialmente interesante es, ¿Cómo depende el tiempo de ejecución de ejecución de u algoritmo del tamaño de los datos de entrada?.

Los algoritmos con tiempo de ejecución exponencial llevan a computaciones correspondientes prácticas en los computadores actuales, mientras que algoritmos con tiempo de ejecución exponencial no lo hacen, y por ello las computaciones correspondientes no pueden realizarse en la práctica.

EL ANLISIS NUMERICO

El análisis numérico desempeña un papel importante en el diseño de los aviones modernos. No hace mucho tiempo, los ingenieros calculaban como fluiría el aire que rozaba las alas y el fuselaje de un avión utilizando túneles de viento.

Las computadoras actuales son tan potentes para resolver EDP. Las ecuaciones de Navier. Stokes son tan precisas que pueden ser utilizadas de esta manera con seguridad. La ventaja de la aproximación por computador es que puede analizarse y visualizarse cualquier característica deseada del flujo.

Las maquinas de calcular han hecho por las matemáticas mucho mas que actuar como sirvientes. En siglo XXI los matemáticos tienen acceso a software potente, también realizan cálculos algebraicos y analíticos, lo que han ayudado a resolver antiguos problemas y han liberado tiempo para la reflexión conceptual.

Un nuevo desarrollo no mencionado hasta ahora, es el uso de los computadores como ayuda para la demostración. Se ha dicho que las demostraciones asistidas por computador cambian la naturaleza fundamental de la demostración, al eliminar el requisito de que la demostración pueda ser verificada por una mente humana. El resultado del cambio es hacer de las matemáticas una ayuda más poderosa para el pensamiento humano.

CAPITULO 20

CAOS Y COMPLEJIDAD

LAS IRREGULARIDADES TAMBIEN SIGUEN PAUTAS

La palabra caos solo tenía un significado: desorden informe. Pero desde entonces, descubrimientos fundamentales en ciencia y matemáticas lo han dotado de un segundo significado más sutil. Los Principios matemáticos de la filosofía natura de Newton habían reducido el <<sistema del mundo>> a ecuaciones diferenciales, y estas son deterministas.

La visión de newton es la de un universo mecánico que, unas ves puestas en marcha por la mano del creador, sigue un curso único e inevitable. Es una visión que nos ha sido muy útil, gracias al cual tenemos la radio, la televisión, los teléfonos móviles, los aviones comerciales, los satélites de comunicaciones, las fibras artificiales, los plásticos y los computadores.

CAOS Y LA COMPLEJIDAD

Es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias (biología, meteorología, economía, etc.) que trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigor determinísticos, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales.

DINAMICAS NO LINEALES

La mayoría de sistemas no lineales son analíticamente irresolubles. En estos casos se puede lograr alguna solución haciendo una aproximación, pero se pierden soluciones físicas. La razón de que las ecuaciones lineales sean más fáciles de analizar es que los sistemas lineales se pueden separar en partes, resolver cada una de ellas y juntar las soluciones para obtener la solución final. El hecho es que muchas cosas en la naturaleza actúan de forma.

La importancia que tienen los sistemas en el caos es el siguiente: se dice que un sistema dinámico es lineal cuando pequeños cambios en las condiciones iniciales del sistema no originan grandes cambios en el proceso y resultado final del mismo.

MOUSTROS TEÓRICOS

Entre 1870 y 1930, un grupo variopinto de matemáticos heterodoxos inventaron una serie de formas extrañas cuyo único propósito era poner de manifiesto las limitaciones del análisis clásico. Los matemáticos habían supuesto que cualquier cantidad que variara de forma continua debía tener una tasa de cambio bien definida <<casi por doquier>>. Por ejemplo un objeto puede moverse de una forma continua pero de manera irregular que en la práctica su velocidad cambia abruptamente en todo instante de tiempo. Esto significa no tiene siquiera una velocidad razonable.

Otras aportaciones a este extraño zoo de anomalías incluían una curva que llena toda una región del espacio.

La corriente principal de las matemáticas denuncio inmediatamente estas anomalías como <<patología>> y como <<galería de mounstruos>>. La lógica que hay detrás del análisis es tan sutil que saltar a una conclusión plausible es peligroso, los matemáticos se habían hecho a la existencia de nuevos artículos en la tienda de curiosidades de los heterodoxos se restringían a la teoría sin tener ningún serio impacto en las aplicaciones.

La teoría de caos demuestra que sin la Luna, la Tierra seria un lugar muy desagradable en donde vivir.

los grandes matemáticos que han influido en el desarrollo que actualmente posee el calculo, igualmente que han sido muchas las culturas que han influido en sus avances

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