Ensayo calculo diferencial

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Instituto Tecnológico Superior P’urhépecha

Nombre del alumno: José David Corona De La Cruz

Carrera: Ingeniería Industrial

Primer semestre

Materia: Calculo Diferencial

Unidad 1

Actividad 1

“Investigación”

Nombre del docente: ING.LEONEL IGNACIO WALDO

Ciudad y Fecha: Tingambato Michoacán a 11 de septiembre del 2021

Introducción

En el presente trabajo se abordan cinco subtemas de la materia de cálculo, el primero de ellos es sobre los números reales que bien son todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita y se clasifican en números naturales, enteros, racionales e irracionales, después se entiende que los axiomas son los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, y a partir de ellos, mediante las demostraciones matemáticas, se deduce la veracidad de cualquier afirmación.

Siguiendo con los subtemas a abordar tenemos que un intervalo es el conjunto de números reales comprendidos entre dos lados: a y b (son los extremos del intervalo). Se entiende que el  valor absoluto de un número es su valor numérico sin tener en cuenta su signo ya sea este positivo (+) o negativo (-) como por ejemplo 3 es el valor absoluto para 3 y para -3.

Finalmente veremos que la desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos.

Los números reales

Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.

Clasificación de los números reales

Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero.

Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero.

Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando números naturales y enteros.

Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este tipo de números.

Axionomias de los números reales

I. Axiomas de la adición

Sea un operador llamada suma simbolizado por “++” y definido sobre los números reales RR, entonces decimos que la suma es una ley de composición interna u operación interna +:R×R→R+:R×R→R tal que las componentes de la terna (x,y,z)∈(R×R)×R(x,y,z)∈(R×R)×R cumple los siguientes axiomas de la adición:

I0. Cerradura de la adición.

Para todo par de números xx e yy que pertenecen a RR, existe un único elemento llamado suma y denotado por x+yx+y pertenecer a RR.

∀x,y∈R|x+y∈R∀x,y∈R|x+y∈R

Esta ley se le conoce como la propiedad de cerradura de la adición, sin embargo, este axioma queda implícito en +:R×R→R+:R×R→R, ya que resulta ser una aplicación (o función) y obliga que x+yx+y sea único, para que me entiendas mejor, mira el titulo Ley de composición interna y el concepto de aplicación en el acordeón.

I1. Ley conmutativa de la adición.

Para todo par de números reales xx e yy, se cumple x+y=y+xx+y=y+x, es decir:

∀x,y∈R|x+y=y+x∀x,y∈R|x+y=y+x

Esta ley se llama propiedad conmutativa de la adición.

I2. Ley asociativa de la adición.

Para cualquier terna de números reales xx, yy y zz, se cumple (x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z), esto es:

∀x,y,z∈R|(x+y)+z=x+(y+z)∀x,y,z∈R|(x+y)+z=x+(y+z)

Esta ley la llamaremos propiedad asociativa de la adición.

I3. Ley del elemento neutro de la adición.

Para todo número x∈Rx∈R, existe un numero llamado cero y denotado por 00 tal que x+0=xx+0=x, esto es:

∀x∈R∃!0∈R|x+0=x∀x∈R∃!0∈R|x+0=x

Esta ley la llamaremos propiedad del elemento neutro aditivo.

I4. Ley del elemento opuesto de la adición.

Para todo número x∈Rx∈R, existe un único opuesto denotado por −x−x tal que x+(−x)=0x+(−x)=0, es decir:

∀x∈R,∃−x∈R|x+(−x)=0∀x∈R,∃−x∈R|x+(−x)=0

Esta ley la llamaremos propiedad del elemento opuesto o inverso aditivo.

II. Axiomas de la multiplicación

Sea un operador llamada multiplicación simbolizado por “⋅⋅” (si, un punto) y definido sobre los números reales RR, entonces decimos que la multiplicación es una ley de composición interna u operación interna ⋅:R×R→R⋅:R×R→R tal que las componentes de la terna (x,y,z)∈(R×R)×R(x,y,z)∈(R×R)×R cumple los siguientes axiomas de multiplicación:

II0. Cerradura para la multiplicación.

Para todo par de números xx e yy que pertenecen a RR, existe un único elemento llamado producto y denotado por x⋅yx⋅y pertenecientes a RR. A partir de ahora, el producto x⋅yx⋅y la escribiremos así xyxy.

∀x,y∈R|xy∈R∀x,y∈R|xy∈R

Esta ley la llamaremos propiedad de la cerradura para la multiplicación. De la misma manera como la operación interna de la adición, la propiedad de la cerradura está incluida en la propiedad interna ⋅:R×R→R⋅:R×R→R.

II1. Ley conmutativa de la multiplicación.

Para todo par de números xx e yy, se cumple xy=yxxy=yx, es decir:

∀x,y∈R=xy=yx∀x,y∈R=xy=yx

Esta ley la llamaremos la propiedad conmutativa de la multiplicación.

II2. Ley asociativa para la multiplicación.

Para cualquier terna de números xx, yy y zz se cumple (x,y)z=x(yz)(x,y)z=x(yz), en otras palabras:

∀x,y,z∈R|(x,y)z=x(yz)∀x,y,z∈R|(x,y)z=x(yz)

También la llamaremos como la propiedad asociativa de la multiplicación

II3. Ley del elemento neutro para la multiplicación.

Para todo número x∈Rx∈R, existe un número llamado unidad denotado por 11 tal que 1≠01≠0 donde x⋅1=xx⋅1=x, simbólicamente:

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