AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL.

DEFINICIÓN.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, cuyas operaciones de adición y multiplicación por un escalar se encuentran definidas en él y satisfacen las siguientes condiciones:

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL.

1. Si x Є V y y Є V, entonces x + y Є V (Cerradura bajo la suma).

2. Para todo x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z)

(Ley asociativa de la suma de vectores)

3. Existe un vector 0 Є V tal que para todo x Є V, x + 0 = 0 + x = x

4. Si x Є V, existe un vector –x en V tal que x + (–x) = 0

(–x se llama inverso aditivo de x)

5. Si x y y están en V, entonces x + y = y + x.

(Ley conmutativa de la suma de vectores).

6. Si x Є V y α es un escalar, entonces αx Є V

(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar).

7. Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy

(Primer ley distributiva)

8. Si x Є V y α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx

(Segunda ley distributiva)

9. Si x Є V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x

(Ley asociativa de la multiplicación por escalares)

10. Para cada vector x Є V, 1x = x.

Ejemplo 1.

Espacios vectoriales de matrices.

Considere el conjunto de matrices reales de 2 x 2. Denote este conjunto como M22. En la sección de matrices se definieron las operaciones de adición y multiplicación por un escalar en este conjunto y, de hecho, éste forma un espacio vectorial. Se analizarán algunos axiomas para comprobar esto.

Utilizando la notación vectorial para indicar los elementos de M22, sean

dos matrices de 2 x 2 cualesquiera. Se tiene entonces que:

Axioma 1:

u + v es una matriz de 2 x 2. Por consiguiente, M22 es cerrada bajo la adición.

Axiomas 2 y 5:

De acuerdo al tema anterior de matrices, se sabe que las matrices de 2 x 2 son conmutativas y asociativas bajo la adición.

Axioma 3:

La matriz cero de 2 x 2 es , puesto que

Axioma 4:

Si , entonces ya que

El conjunto de matrices M22 de 2 x 2 constituye un espacio vectorial. Las propiedades algebraicas de M22 son similares a las de Rn. Asimismo, se puede concluir que

Mmn, el conjunto de matrices de m x n es un espacio vectorial.

Ejemplo 2.

Espacios vectoriales de funciones.

Sea V el conjunto de funciones cuyo dominio está formado por los números reales. Sean f y g elementos cualesquiera de V. Se define la adición de f + g como una función tal que

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Esta expresión define a f + g como una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Para determinar el valor de f + g para cualquier número real x, se suma el valor de f en x y el valor de g en x. Esta operación recibe el nombre de adición de punto por punto.

En seguida se definirá la multiplicación por un escalar de los elementos de V. Sea c un escalar cualquiera. La multiplicación escalar de f ,cf es la función

(cf)(x) = c[f(x)]

Esta expresión define a cf como una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Para determinar el valor de cf para cualquier número real x, se multiplica el valor de f en x por c. Esta operación recibe el nombre de multiplicación por un escalar punto por punto.

Para visualizar de forma geométrica esas dos operaciones sobre funciones, considere dos funciones específicas:

f(x) = x y g(x) = x2

Entonces, f + g es la función definida por

(f + g)(x)

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