Espacio muestral, eventos, operaciones y axiоmas de probabilidad

Tema 1. Experimento aleatorio, espacio muestral, eventos o sucesos, operaciones entre eventos.

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Experimento aleatorio es aquel que, bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. 

Espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, junto con una estructura sobre el mismo.

Evento aleatorio o fuente de sucesos aleatorio es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A.

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Tema 2. Principio general del conteo, permutaciones, combinaciones, regla del exponente.

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Principio general del conteo establece que si hay p formas de hacer una cosa, y q formas de hacer otra cosa, entonces hay p × q formas de hacer ambas cosas, puede extenderse a situaciones donde tenga más de 2 opciones.

Permutación Es la variación del orden o posición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla.

Combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. ... en notación matemática.

Reglas de los Exponentes Un exponente sólo aplica al valor que esta inmediatamente a su izquierda, cuando una cantidad entre paréntesis es elevada a una potencia, el exponente aplica a todo lo que está dentro del paréntesis. Para multiplicar dos términos que tienen la misma base, sumar sus exponentes. (nx)(ny)=nx+yPara elevar la potencia a una potencia, multiplicar los exponentes. (nx)y= nxy

Tema 3. Axiomas de probabilidad, probabilidad condicional, Teorema de Bayes.

Teorema de probabilidad total. Sea A1, A2, ...,  An una partición sobre el espacio muestral y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B|Ai ), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:[pic 4]

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Teorema de Bayes. Sea {A1, A2,..., Ai,…, An } un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B|Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai|B) viene dada por la expresión: [pic 6][pic 7]

dónde: P(Ai) son las probabilidades a priori, P(B|Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai  y P(Ai|B) son las probabilidades a posteriori.

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Diagramas de árbol. Se construyen poniendo en cada rama principal cada una de las posibilidades acompañadas de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Para resolver el problema se suman las probabilidades de todos los casos favorables teniendo en cuenta que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1 y que la probabilidad en cada caso es el cociente de la probabilidad de sucesos favorables entre la probabilidad de sucesos totales.