Espacio muestral

Espacio muestral

El espacio muestral es una parte del espacio probabilístico. Como su propio nombre indica, está formado por los elementos de la muestra. Al contrario, el espacio probabilístico engloba todos los elementos. Incluso aunque no salgan recogidos en la muestra. El espacio muestral se denota con la letra griega Ω (Omega). Está compuesto por todos los sucesos elementales y/o compuestos de la muestra y, por tanto, coincide con el suceso seguro. Es decir, aquel suceso que siempre va a ocurrir.

Un ejemplo de espacio muestral en el lanzamiento de una moneda sería: Ω = {C, X}. Dónde C es cara y X es cruz. Esto es, los posibles resultados son cara o cruz

Ejemplos de espacio muestral

1. Supongamos el caso de un dado con 6 caras. Enumeradas del 1 al 6 ¿Cuál sería el espacio muestral del experimento lanzar un dado una sola vez?

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

¿Y si el experimento consiste en lanzar el dado dos veces? Diferenciamos entre un dado rojo y un dado verde.

Ω = {1 y 1, 1 y 2, 1 y 3, 1 y 4, 1 y 5, 1 y 6, 2 y 1, 2 y 2, 2 y 3 … 6 y 6 }

Es decir, que en el dado rojo salga un 1 y que en el dado verde salga un 1, sería el primer suceso elemental. El segundo suceso elemental consistiría en que en el dado rojo salga un 1 y en el verde un 2. Así hasta un total de 36 sucesos elementales.

1. En una bola hay 10 bolas numeradas del 11 al 20, identicas, salvo el color pues unas son rojas y otras verdes

1. Sacamos, sin mirar, una bola.¿cual es la probabilidad de obtener un numero primo?
2. Se sabe que la probabilidad de sacar bola verde es de 3/5 ¿Cuántas bolas hay de cada color?.

¿Cuáles son todos los posibles resultados? Nos referimos a los números de las bolas, que son los números del 11 al 20.

Nuestro espacio muestral tiene 10 elementos: E = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Y el suceso por el que nos preguntan es “obtener un número primo”. Ahora, ¿cómo calculamos la probabilidad de este suceso?

Cuando todos los sucesos elementales tienen las misma probabilidad de ocurrir, la probabilidad de un suceso cualquiera A se define como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Esta es la Ley de Laplace

[pic 1]

Sacamos sin mirar una bola, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número primo?

Empezamos calculando el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Número de casos favorables = número de primos = 4 son los números primos dentro de los resultados posibles (Los números 11, 13, 17 y 19 son primos)

Número de casos posibles = 10 (Todos los números del 11 al 20).

La probabilidad de sacar un número primo entre las 10 bolas, es de 4/10 que  simplificado es 2/5. Solución: P (número primo)=2/5

¿Cuántas bolas hay de cada color?

Nos dice que la probabilidad de que salga verde es 3/5. El número de casos posibles, es decir, el número de bolas que pueden salir, sigue siendo 10.

El número de casos favorables, es decir, el número de bolas de color verde (nuestro suceso) es una de las cosas que queremos calcular. Sabemos que 3/5 es equivalente a 6/10. Por lo tanto, si aplicamos la Ley de Laplace:

[pic 2]

En total hay 6 bolas verdes en la bolsa. Así que podemos deducir que el resto, 4, son bolas rojas. Solución: Hay 6 bolas verdes y 4 bolas rojas

Concepto y ejemplos de Evento

Un Evento es un resultado particular de un experimento aleatorio. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto. Ejemplo:

A: Que sal ga un número par al lanza r un dado.

E: Que haya que esperar más de 10 minutos para ser atendidos.

Los eventos pueden ser:

Independientes (cada evento no se ve afectado por otros eventos). Los eventos pueden ser "independientes", lo que significa que cada evento no se ve afectado por ningún otro evento.

Ejemplo: Lanzas una moneda y aparece "Cara" tres veces ... ¿cuál es la probabilidad de que el próximo lanzamiento también sea una "Cara"?

La probabilidad es simplemente 1/2 o 50% como en CUALQUIER lanzamiento de la moneda.

¡Lo que ocurrió en el pasado no afectará el lanzamiento actual!

Dependientes (también llamado "Condicional", donde un evento se ve afectado por otros eventos).

Ejemplo: tomar 2 cartas de un mazo

Después de tomar una carta del mazo, hay menos cartas disponibles, ¡por lo que las probabilidades cambian!

Veamos las posibilidades de obtener un Rey.

Para la primera carta, la posibilidad de sacar un Rey es 4 de 52

Pero para la segunda carta:

Si la primera carta era un Rey, entonces es menos probable que la segunda carta sea un Rey, ya que solo 3 de las 51 cartas restantes son Reyes.

Si la primera carta no era un Rey, entonces es más probable que la segunda carta sea un Rey, ya que 4 de las 51 cartas restantes son Rey.

Esto se debe a que estamos quitando cartas del mazo.

Reemplazo: cuando volvemos a colocar cada tarjeta después de sacarla, las posibilidades no cambian, ya que los eventos son independientes.

Sin reemplazo: las posibilidades cambiarán y los eventos son dependientes.

Mutuamente Excluyentes (los eventos no pueden suceder al mismo tiempo) quiere decir que no pueden suceder al mismo tiempo. Es uno u otro, pero no ambos

Ejemplos:

Girar a la izquierda y a la derecha son mutuamente excluyentes (no puedes hacer ambas cosas al mismo tiempo)

Cara y Escudo son mutuamente excluyentes

Reyes y Ases son mutuamente excluyentes

Lo que no es mutuamente excluyentes

¡Los reyes y los corazones no son mutuamente excluyentes, porque podemos tener un rey de corazones!

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