EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS

INDICE

INTRODUCCIÓN        

I.        LA ALEATORIEDAD        

II.        EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS        

III.        EVENTOS        

IV.        DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD        

1.        DEFINICIÓN CLÁSICA        

2.        DEFINICIÓN EMPÍRICA DE PROBABILIDAD        

3.        DEFINICIÓN SUBJETIVA DE PROBABILIDAD        

V.        AXIOMAS DE PROBABILIDAD        

A.        AXIOMA POSITIVIDAD        

B.        AXIOMA DE CERTIDUMBRES        

C.        AXIOMA DE LAS UNIONES        

VI.        TIPOS DE EVENTOS        

1.        EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES        

2.        EVENTOS SOLAPADOS        

3.        EVENTOS COMPLEMENTARIOS        

4.        EVENTOS INDEPENDIENTES        

5.        EVENTOS DEPENDIENTES        

6.        EVENTOS CONDICIONALES        

CONCLUSION        

BIBLIOGRAFIA        

INTRODUCCIÓN

La teoría de la probabilidad es una herramienta indispensable para toda clase de estudio que contenga incertidumbre. Es base fundamental de los procedimientos de decisión para la estimación y la prueba de hipótesis.

La probabilidad se relaciona con casi todas las ciencias que tienen que, en un momento dado, tomar decisiones.

La probabilidad de origen a la construcción de modelos matemáticos de gran utilidad para la inferencia estadística. En este tema vamos a introducir algunas interpretaciones del concepto de probabilidad y las principales leyes que rigen los distintos eventos aleatorios.

Por lo general las investigaciones se realizan tomando parte de la población, que constituyen subconjuntos de ella, llamados muestras. Es importante que se haga ver que lo más interesante del método estadístico es descubrir características generales de la población con solo analizar una parte de ella. Por supuesto que esto solo ocurre cuando la muestra que se toma de la población es representativa. Una muestra es representativa cuando representa una selección aleatoria de la población. Lo aleatorio implica que cada individuo, objeto o medida ha tenido igual oportunidad de ser escogido.

Antes de introducirnos en el maravilloso campo de la probabilidad, es necesario comprender bien uno de los conceptos más importantes: el concepto de aleatoriedad.

1. LA ALEATORIEDAD

Vamos a estudiar este concepto analizando las siguientes afirmaciones:

1. Si se mantiene constante la temperatura de un gas, al aumentar la presión, el volumen se reduce en proporciones inversa (Ley de Boyle Mariotte).
2. El numero 27 es un numero primo.
3. El próximo gobierno de el salvador será socialista.
4. La UCA tendrá para fines del año 1985 una población estudiantil de 8000 alumnos.

Como puede notarse hay una diferencia esencial entre las dos primeras proporciones y las dos últimas respecto al criterio de verdad: las dos primeras son proposiciones categóricas o deterministas, la primera es verdadera por una razón física; la segunda es falsa por una razón matemática; con relación a la tercera y cuarta proposición, carecemos de elementos de juicio para afirmar si son verdaderas o falsas, diremos entonces que se trata de “eventos aleatorios”. En general se puede decir que los eventos aleatorios se caracterizan porque admiten dos o más resultados posibles, y no tenemos elementos de juicio suficientes para predecir cuál de los resultados ocurrirá en una determinada prueba. Visto a si este concepto de aleatoriedad, podemos decir que la probabilidad se refiere al estudio de fenómenos puramente aleatorios.

1. EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS

Vamos a desarrollar el concepto formal de probabilidad en términos de espacio muestral y eventos, asociados con lo que se da en llamar experimento aleatorio. Experimento aleatorio es un conjunto de pruebas, realizadas en las mismas condiciones y su ocurrencia o no ocurrencia está determinada solamente por factores al azar. Un experimento puede, incluso, consistir en una sola prueba; el resultado de una prueba se le llama “punto muestral” o suceso elemental. Al conjunto de todos los resultados posibles del experimento que tiene  seis posibles resultados; lanzar un dado es un experimento que tiene seis posible resultados; lanzar dos monedas es un experimento que tiene cuatro posibles resultados: cara cara,cara cruz, cruz cara y cruz cruz. Extraer una bola de una urna que contiene bolas de varios colores, examinar un pedido para buscar un producto defectuoso son ejemplos de experimentos aleatorios. Todos estos experimentos tienen dos propiedades en común: 1. Cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden especificar de antemano; 2. Hay incertidumbre acerca del resultado de cada experimento. Veamos el siguiente cuadro.

Ya que el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se llama “espacio muestral”, lo vamos a simbolizar por la letra S. asi en el experimento del lanzamiento de un dado el espacio muestral es S=(1,2,3,4,5,6); los elementos 1,2,3,4,5,6 son los puntos muéstrales.

En el lanzamiento de una moneda es espacio muestral es S(H,T)  donde H es cara y T  es cruz. Si representamos por n(S) para el número de puntos muéstrales del espacio muestral, entonces n(S) para el lanzamiento de un dado es 6 puntos muéstrales. Para el lanzamiento de una monedad n(S)= 2 puntos muéstrales.

Ejemplos

1. En el lanzamiento de un par de dados, n(S) vale 36 puntos muéstrales; es decir n(S)=36 punto muéstrales cuyos valores son los siguientes:

S= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) …… (6,)}

Este espacio muestral está dado por el producto cartesiano A x B donde

A y B son cada uno iguales a {1,2,3,4,5,6}

Para visualizar mejor este espacio muestral, se presenta la siguiente gráfica:[pic 1]

Cada cara de dado “X” se combina con cada cara del dado “Y”.

Cada punto de la gráfica representa un par ordenado: por ejemplo:

(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1) … (6,6).

1. En el lanzamiento de dos monedas, n(S) vale 4 p.m cuyos resultados o puntos muéstrales son:

S = {(HH), (HT), (TH), (TT)}1

1. Si se juegan simultáneamente tres monedas o lo que es lo mismo lanzar una moneda tres veces:

n (S) = 8 p.m.

Una forma fácil y didáctica de determinar todos los resultados posibles es utilizando el diagrama del árbol:

[pic 2]

1. Un experimento consiste en seleccionar tres tubos de TV de un pedido y observar si son o no defectuosos.

Sea:                                D = Tubo defectuosos.

                                       D = Tubo no defectuoso.

Siguiendo la técnica de diagrama de árbol, se tiene:

S = {(DDD), (DDD”), (DD’D), (DD’D’), (D’DD), (D’DD), (D’D’D), (D’D’D`)}

Es decir n(S)= 8 puntos muestrales.

1. EVENTOS

Es un espacio muestral finito, cualquier subconjunto de puntos muéstrales se llama evento. Por ejemplo en el experimento: ”lanzamiento de un dado”, el espacio muestral sabemos que es S={1,2,3,4,5,6}; en este experimento llamemos E al suceso “aparecimiento de cifra impar” y m (E) al número  de puntos muéstrales del evento E; entonces el subconjunto E={1,3,5} constituye un evento, siendo m (E)=3 puntos muéstrales.

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