Estudio del régimen sinusoidal permanente

Estudio del régimen sinusoidal permanente.

Método de los fasores

José R. Solera Ureña

Depto. Ingeniería Electrónica y Comunicaciones

Universidad de Zaragoza

Versión 2.0

25-06-2006

Índice:

0H1 REGIMEN SINUSOIDAL PERMANENTE: FASORES .............................................................23H2

1H1.1 REPRESENTACIÓN FASORIAL DE SEÑALES SINUSOIDALES...........................................................24H2

2H1.2 PROPIEDADES DE LOS FASORES ..................................................................................................25H3

3H1.3 EJEMPLOS...................................................................................................................................26H3

4H1.3.1 Fasor de la derivada de una señal........................................................................................27H3

5H1.3.2 Fasor de la primitiva (integral indefinida) de una señal......................................................28H4

6H1.4 JUSTIFICACIÓN MATEMÁTICA DEL EMPLEO DE FASORES.............................................................29H4

7H1.5 RELACIONES VOLTAJE–CORRIENTE CON FASORES: DEFINICIÓN DE IMPEDANCIA .......................30H5

8H1.6 PROPIEDADES DE LA IMPEDANCIA ..............................................................................................31H6

9H1.7 ANÁLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE FASORES .............................................................................32H7

10H1.7.1 Asociación de impedancias...................................................................................................3H8

1H1.7.2 Leyes de Kirchoff con fasores...............................................................................................34H8

12H1.7.3 Divisor de voltaje .................................................................................................................35H8

13H1.7.4 Divisor de corriente..............................................................................................................36H9

14H2 EJEMPLO PRÁCTICO: CIRCUITO RC SERIE.........................................................................37H9

15H2.1 RESOLUCIÓN DE LA RESPUESTA FORZADA (RÉGIMEN PERMANENTE) EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

38H9

16H2.2 RESOLUCIÓN DE LA RESPUESTA FORZADA (RÉGIMEN PERMANENTE) MEDIANTE FASORES .......39H10

17H2.3 FILTROS EN FRECUENCIA..........................................................................................................40H11

18H2.4 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA / RESPUESTA EN FRECUENCIA ....................................................41H12

19H3 EJEMPLO PRÁCTICO: CIRCUITO RLC SERIE....................................................................42H13

20H3.1 DIAGRAMA DE FASORES EN EL CIRCUITO RLC.........................................................................43H13

21H3.2 RESONANCIA, FACTOR DE CALIDAD Y ANCHO DE BANDA.........................................................4H14

2H4 EJEMPLO: EXAMEN DE T.C. II, JUNIO DE 2006. C.P.S., U. DE ZARAGOZA..................45H16

1 REGIMEN SINUSOIDAL PERMANENTE: FASORES

1.1 Representación fasorial de señales sinusoidales

Consideremos voltajes e intensidades de corriente de tipo sinusoidal:

( ) cos( )

( ) cos( )

0

0

i

v

i t I t

v t V t

ω θ

ω θ

= +

= +

Ec. 1

θv

y θi son la fase inicial de la tensión y la corriente, respectivamente, tomando en ambos

casos la función coseno como referencia. Cuando una de estas magnitudes, v(t) o i(t), se exprese

como función coseno y la otra como función seno, se tendrá en cuenta la relación

trigonométrica: sen(φ) = cos(φ – π/2), que indica que la gráfica de la función seno está retrasada

π/2 radianes, o 90º, o un cuarto de onda, con respecto a la de la función coseno.

El tratamiento teórico y práctico del régimen permanente sinusoidal se simplifica mucho

haciendo una transformación de las funciones seno y coseno reales a la función exponencial de

variable compleja. El “puente” para dicha transformación lo proporciona la identidad de Euler:

exp( jϕ ) = cos(ϕ ) + jsen(ϕ ) , Ec. 2

de forma que para recuperar el coseno sólo hay que tomar la parte real de la exponencial

compleja:

cos(ϕ ) = Re{exp( jϕ )} Ec. 3

El argumento φ puede ser una constante o, como en nuestro caso, una variable real

dependiente del tiempo 0 ϕ (t) =ωt +ϕ . Así, obtenemos:

{ } { }

( ) cos( ) Re{ exp[ ( )]} Re{ exp( ) exp( )}

( ) cos( ) Re exp[ ( )] Re exp( ) exp( )

0 0 0

0 0 0

i t I t I j t I j j t

v t V t V j t V j j t

i i i

v v v

ω θ ω θ θ ω

ω θ ω θ θ ω

= + = + = ⋅

= + = + = ⋅

Ec. 4

Las expresiones complejas exp( ) exp( ) 0 V j j t v θ ⋅ ω e exp( ) exp( ) 0 I j j t i θ ⋅ ω contienen

toda la información acerca de la tensión y la corriente:

• V0 e I0 son las amplitudes (voltios/amperios de pico/eficaces).

• θ

v y θi son las fases iniciales.

• ω [rad/s] es la frecuencia angular o pulsación. La frecuencia en Hz: f = ω/2π.

Más aún: puesto que ω [rad/s] –o, f [Hz]– es común al voltaje y a la corriente, podemos

omitir, por sobreentendido, el factor exponencial exp( jωt) y operar con las magnitudes

simplificadas resultantes:

Fasor de voltaje: exp( ) 0 v V = V jθ Ec. 5

Fasor de corriente: exp( ) 0 i I = I jθ Ec. 6

(Recordar que un circuito lineal no puede crear frecuencias que no estén presentes en la

señal de entrada.)

Los números complejos V e I se denominan fasores0F0F

1 y permiten agilizar notablemente

los cálculos y formalizar más concisamente la teoría del régimen permanente sinusoidal.

La relación entre el fasor de corriente o voltaje y la correspondiente expresión en el

dominio del tiempo, i(t) o v(t), se obtiene sustituyendo la ecuación 5 en la ecuación 4:

Paso del fasor a la señal en el tiempo:

{ }

( ) Re{ exp( )}

( ) Re exp( )

i t j t

v t j t

ω

ω

I

V

=

=

Ec. 7

1.2 Propiedades de los fasores

1. El empleo de fasores sólo es válido para señales sinusoidales.

2. El fasor es un número complejo independiente del tiempo.

3. V0 e I0 son las amplitudes de señal.

4. θ

v y θi son las fases iniciales.

5. La representación gráfica y las operaciones con fasores son idénticas a las de los

números complejos.

6. Los cálculos del régimen sinusoidal permanente se realizarán con fasores y

únicamente cuando sea necesario obtener la expresión en función del tiempo de las

corrientes y voltajes se aplicarán las ecuaciones 5 y 6.

7. Los fasores no sirven para analizar el régimen transitorio (ver el ejercicio

propuesto en el examen de junio de 2006).

1.3 Ejemplos

Señal Fasor

v(t) = 5cos(ωt +π / 3) V = 5exp(π / 3) = 5cos(π / 3) + jsen(π / 3) = 2,5 + j 3

5cos( / 6)

5cos( / 3 / 2)

( ) 5 ( / 3)

ω π

ω π π

ω π

= −

= + −

= +

t

t

i t sen t

I = 5exp(−π / 6) = 5cos(π / 6) − jsen(π / 6) = 3 − j2,5

Observar que primero se transforma la función seno en una

función coseno.

1.3.1 Fasor de la derivada de una señal

Dada ( ) cos( ) Re{ exp[ ( )]} Re{ exp( ) exp( )} 0 0 0 v t V t V j t V j j t v v v = ω +θ = ω +θ = θ ⋅ ω ,

su fasor es exp( ) 0 v V = V jθ . Derivemos:

{ }

{ }

Re{ exp( ) exp( )}

Re exp( ) exp( / 2) exp( )

Re exp[ ( / 2)] exp( )

( ) ( ) cos( / 2)

0

0

0

0 0

j V j j t

V j j j t

V j j t

V sen t V t

dt

dv t

v

v

v

v v

ω θ ω

ω θ π ω

ω θ π ω

ω ω θ ω ω θ π

= ⋅

= ⋅

= + ⋅

= − + = + +

Ec. 8

Obtenemos:

1 En estas notas, se escriben en negrita los fasores para resaltarlos evitar confusión con otras magnitudes,

aunque no es práctica generalizada.

( ) j FASOR{v(t)}

dt

FASOR dv t = ⋅

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

ω Ec. 9

A este resultado se llega aún más rápidamente así:

[ { }]

[ ]

{ }

Re{ exp( ) exp( )}

Re exp[ ( )]

Re exp[ ( )]

( ) Re exp[ ( )]

0

0

0

0

j V j j t

j V j t

V j t

dt

d

V j t

dt

d

dt

dv t

v

v

v

v

ω θ ω

ω ω θ

ω θ

ω θ

= ⋅

= +

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

= +

= +

Ec. 10

1.3.2 Fasor de la primitiva (integral indefinida) de una señal

Si

dt

x(t) = ∫ v(t)dt⇒v(t) = dx(t) ; luego, aplicando la regla del fasor de una derivada:

{ } { }

jω

...