Estudio termico del comportamiento de un satelite simplificado mediante metodos numericos

CÁLCULO NUMÉRICO

[pic 1]ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO TERMICO DE UN SATELITE EXPUESTO A LA RADIACIÓN SOLAR

DANIEL CLEMENTE MUELAS

MIGUEL GARRIDO GARCIA

EDUARDO SARABIA ALFONSO

ÍNDICE:

1. OBJETIVOS Y MODELO FÍSICO.        

1.1 CÁLCULO DE LA POSICIÓN DEL SOL RESPECTO AL SATÉLITE.        

1.2 CÁLCULO D DE LA RADIACIÓN DIFUSA.        

1.3 CÁLCULO DEL FLUJO DE CALOR EN LA FRONTERA.        

2. MODELO MATEMÁTICO Y PROGRAMACIÓN.        

3. RESULTADOS.        

1. OBJETIVOS Y MODELO FÍSICO.

Se pretende estudiar el comportamiento térmico de un satélite con una órbita circular con centro en el Sol. Dicha órbita tendrá un periodo de 12 h y una distancia al Sol lo suficientemente grande, del orden de la unidad astronómica, 1 ua = 149.597.870 km, como para considerar que todos los rayos llegan paralelos.

El modelo que utilizaremos para el estudio es el llamado R.I.M. (Radiosity, Irradiation Method), modelo válido para los espectros visible (VIS ) e infrarrojo () de la luz solar.[pic 2][pic 3]

A continuación se esquematizará el modelo a utilizar y se presentarán las leyes físicas que lo sostienen.

[pic 4]

En la Figura 1 representa una esquematización  de lo ocurrido en cada punto del satélite donde un rayo solar incide.

Vemos que la energía transmitida por el rayo solar al punto transita tres caminos, habrá parte de la energía que se refleje, que se absorba y que se transmita. Cada uno de estos procesos tiene una constante característica,  de manera que:  , lo que quiere decir que la suma de las tres es la energía total que transmite el rayo solar. Como simplificación en nuestro caso se supone que nuestro cuerpo es opaco. [pic 5][pic 6][pic 7]

Además las superficies de nuestro cuerpo utilizado son superficies grises difusas. Una superficie gris difusa es aquella donde la   y la emisividad  son independientes de la dirección de incidencia y de la longitud de onda, y además podemos considerar que son iguales.[pic 8][pic 9][pic 10]

Una vez presentado el problema físico a tratar, hay que ir a las ecuaciones o modelos que estudian y son capaces de describir y predecir cómo evolucionará e interactuará dicho problema con el tiempo y el entorno.

Estos modelos los encontramos en la rama de la física conocida como Transferencia de Calor, que es la rama de la física que estudia la energía en tránsito debido a una diferencia de temperaturas, que en comparación con la Termodinámica (disciplina que instintivamente viene a la cabeza al hablar de transferencias de calor), la termodinámica estudia la diferencia del sistema y sus propiedades entre dos de sus estados que están equilibrio, y la transferencia de calor estudia el proceso que lleva de un estado a otro.

De acuerdo con la Transferencia de Calor,  hay diferentes modos de transmitir el calor.

• Por conducción, que está asociado a la difusión de energía debida al movimiento molecular, el modelo que describe este proceso es el de la famosa ecuación del calor:

[pic 11]

Presentada en nuestro caso de manera bidimensional pues será la que utilicemos a lo largo del problema.

• Por convección, que está asociado a la difusión de energía del movimiento molecular más la transferencia de energía debida al movimiento global. En el estudio de la transferencia de energía por convección entran fenómenos relacionados con la capa límite. En nuestro caso al estar el cuerpo en el vacío podemos suponer que la trasferencia de calor por convección es nula. El modelo que describe este modo es:

[pic 12]

• Por radiación, que está asociada a la transferencia de energía por ondas magnéticas, y el modelo que lo describe es:

[pic 13]

Esta es una presentación superficial de todo lo que engloba la transferencia de calor, en las fórmulas anteriormente citadas, q’’ representa el flujo de calor, también hay constantes que dependen del material como  que es la densidad,  es el calor específico, el producto de  es conocido como capacidad térmica volumétrica,  es la conductividad térmica,  es la emisividad, y  es la constante de Stefan-Boltzmann, con un valor numérico de:   [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Para poder abordar el problema de transferencia de calor por radiación hay que introducir además el concepto de Factor de Forma (View Factor), que se define para poder calcular la radiación entre dos superficies cuales quiera como la fracción de la radiación que sale de la superficie i que es interceptada por la superficie j, en este caso lo denotaríamos como , por lo que para desarrollarlo para todas las superficies a lo largo de nuestra geometría quedará como una matriz de NxN, siendo N el número de superficies que tengamos. En una superficie cerrada la suma del Factor de Forma de una superficie con el resto debería ser 1, [pic 21][pic 22]

El cálculo del Factor de Forma entre dos superficies se determinaría de manera que:[pic 23]

[pic 24]

Donde en la Figura 2 representa las superficies i y j, con sus ángulos y la distancia R que hay que utilizar para el cálculo del Factor de Forma.

Una vez presentado toda la física que debemos utilizar en el problema, nos disponemos a resumir el procedimiento a seguir para resolver el problema.

1. CÁLCULO DE LA POSICIÓN DEL SOL RESPECTO AL SATÉLITE.

Debido a que la posición del Sol varía en función del tiempo, como se ve en la órbita descrita en la Figura 3, cuyo sistema de referencia es el satélite, los rayos solares no incidirán a todos los puntos de igual manera a lo largo del tiempo, por lo que la energía que absorberán y radiarán no es la misma.

Para ello se calcula la posición dentro del satélite donde a cada instante incide el ‘’rayo límite’’, llamado así al rayo último del Sol que incide en el cuerpo, siendo así la frontera entre la parte iluminada y la parte de sombra, como describimos en la figura 4.

[pic 25][pic 26]

1. CÁLCULO DE LA RADIACIÓN DIFUSA.

La radiación difusa del cuerpo sigue la ecuación:

[pic 27]

Donde  es la energía de las fuentes (source), que la proporcionada por el Sol (a los puntos de la frontera que les corresponde) y la emitida por el resto de superficies que es interceptada por la superficie i, además entra en juego la constante  que es la reflectividad (reflectivity).[pic 28][pic 29]

Una vez hayamos discretizado nuestro cuerpo en diferentes superficies para poder abordar el problema, calculamos el factor de forma de la manera anteriormente descrita.

Sabiendo el factor de forma y las fuentes e introduciendo el operador delta de Dirac, podemos calcular la radiación difusa de modo que:

[pic 30]

Obteniendo así , para todos los puntos de la frontera.[pic 31]

Hasta aquí podemos decir que el problema pertenece a una parte óptica, que depende del Factor de Forma y la reflectividad, además de la posición del Sol. A partir de aquí entra en una parte ya más térmica de transferencia de calor por conducción.

1. CÁLCULO DEL FLUJO DE CALOR EN LA FRONTERA.

Una vez conocemos  para todos los puntos de la frontera somos capaces de calcular el flujo de calor en dicho punto, ya que está descrito por la ecuación:[pic 32]

[pic 33]

Y sabiendo el flujo de calor y que este es una condición de contorno de tipo Dirichlet para la ecuación del calor, el problema está cerrado.

Por último hemos introducido una simplificación para la condición de contorno, para simplificar el cálculo, esta es que a lo largo de la frontera, gran parte de esta está recubierta por una protección térmica, esto podría simular a un panel solar dentro del satélite que sirve para captar energía, y los paneles fotovoltaicos están dispuestos en la zona deseada, mientras que el resto de la frontera esta provista de unos refrigeradores que impiden que los paneles se sobrecalienten, así nos mantenemos dentro de unos márgenes de temperatura y la simulación numérica nos es más fácil. En nuestro problema la parte refrigerada se encuentra a 273 K. Quedando la superficie como indica la Figura 5

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