FONDO, FLUJO Y TIEMPO
jbravo30 de Septiembre de 2014
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C A P Í T U L O 8
Programación de metas
Los modelos de programación lineal que se presentaron en los capítulos anteriores se basan
en la optimización de una sola función objetivo. Hay casos en donde lo más adecuado es tener
varios objetivos (posiblemente opuestos). Por ejemplo, los políticos aspirantes pueden
prometer reducir la deuda nacional y, al mismo tiempo, ofrecer rebajas de impuesto sobre la
renta. En tales casos podrá ser imposible encontrar una solución única que optimice los objetivos
contrapuestos. En lugar de ello se podrá buscar una solución intermedia, o de compromiso
basada en la importancia relativa de cada objetivo.
Este capítulo presenta la técnica de programación de metas para resolver modelos con
varios objetivos. La idea principal es convertir los diversos objetivos originales en una sola
meta. El modelo resultante produce lo que se suele llamar solución eficiente, porque podrá
no ser óptima con respecto a todos los objetivos contrapuestos del problema.
8.1 UNA FORMULACIÓN DE PROGRAMACIÓN DE METAS
Ilustraremos con un ejemplo la idea de la programación de metas.
Ejemplo 8.1-1
Fairville es una ciudad pequeña con unos 20,000 habitantes. El consejo de la ciudad está en
vías de desarrollar una tabla equitativa de impuestos urbanos. La base impositiva anual para
la propiedad catastral es $550 millones. La bases impositivas anuales para alimentos y medicinas
es $35 millones, y para ventas en general es $55 millones. El consumo local anual de
gasolina se estima en 7.5 millones de galones. El consejo ciudadano desea establecer las tasas
de impuesto basándose en cuatro metas principales.
1. Los ingresos impositivos deben ser $16 millones, cuando menos, para satisfacer los compromisos
financieros municipales.
2. Los impuestos en alimentos y medicinas no pueden ser mayores que el 10% de todos los
impuestos recabados.
348 Capítulo 8 Programación de metas
3. Los impuestos por ventas en general no pueden ser mayores que el 20% de todos los
impuestos recabados.
4. El impuesto a la gasolina no puede ser mayor que 2 centavos por galón.
Sean las variables y las tasas impositivas (expresadas como proporciones de las
bases impositivas) para el catastro, alimento y medicinas y ventas en general; se define la variable
xg como el impuesto a la gasolina, en centavos por galón. Las metas del consejo municipal
se expresan entonces como sigue:
A continuación se simplifican las tres restricciones como sigue:
Cada una de las desigualdades del modelo representa una meta que el consejo municipal
desea satisfacer. Sin embargo, lo más que se puede hacer es buscar una solución de compromiso
entre estos planes contrapuestos.
La forma en que la programación de metas determina una solución de compromiso es
convirtiendo cada desigualdad en una meta flexible, en la que la restricción correspondiente
puede violarse si es necesario. En el modelo de Fairville, las metas flexibles se expresan como
sigue:
Las variables no negativas y , 2, 3, 4, se llaman variables de desviación, porque
representan las desviaciones arriba y abajo respecto al lado derecho de la restricción i.
Por definición, las variables y son dependientes y en consecuencia no pueden ser al
mismo tiempo variables básicas. Esto quiere decir que en cualquier iteración símplex, cuando
menos una de las dos variables de desviación puede asumir un valor positivo. Si la i-ésima
desigualdad original es del tipo y su , entonces se satisfará la i-ésima meta; en caso
contrario, si , la meta i no se satisfará. En esencia, la definición de y si permite satisfa-
- si
+ si
- 7 0
si
… + 7 0
si
- si
+
si
-si , i = 1
+
si
+, si
- Ú 0, i = 1, 2, 3, 4
xp, xf, xs, xg
Ú 0
110xp
+ 31.5xf
+ 5.5xs
+ .0075xg
+ s4
+ - s4
- = 2
110xp
+ 7xf
- 44xs
+ 0.015xg
+ s3
+ - s3
- = 0
55xp
- 31.5xf
+ 5.5xs
+ 0.0075xg
+ s2
+ - s2
- = 0
550xp
+ 35xf
+ 55xs
+ 0.075xg
+ s1
+ - s1
- = 16
xp, xf, xs, xg
Ú 0
110xp
+ 31.5xf
+ 5.5xs
+ .0075xg
… 2
110xp
+ 7xf
- 44xs
+ 0.015xg
Ú 0
55xp
- 31.5xf
+ 5.5xs
+ 0.0075xg
Ú 0
550xp
+ 35xf
+ 55xs
+ 0.075xg
Ú 16
xp, xf, xs, xg
Ú 0
xg
… 2 1Impuestos a la gasolina2
55xs
… 0.21550xp
+ 35xf
+ 55xs
+ 0.075xg2 1Impuestos a ventas en general2
35xf
… 0.11550xp
+ 35xf
+ 55xs
+ 0.075xg2 1Impuestos a alimentos y medicinas2
550xp
+ 35xf
+ 55xs
+ 0.075xg
Ú 16 1Impuestos recabados2
xp, xf xs
8.1 Una formulación de programación de metas 349
cer o violar la i-ésima meta cuando se desee. Ésta es la clase de flexibilidad que caracteriza a la
programación de metas cuando busca una solución de compromiso. Naturalmente, una buena
solución de compromiso trata de minimizar la cantidad por la cual se viola cada meta.
En el modelo de Fairville, como las tres primeras restricciones son del tipo y la cuarta
es , las variables de desviación y del problema representan las cantidades por
las que se violan las metas respectivas. Así, la solución de compromiso trata de satisfacer todo
lo posible los siguientes cuatro objetivos:
Esas funciones se minimizan sujetas a las ecuaciones de restricción del modelo.
¿Cómo se puede optimizar un modelo con varios objetivos y metas quizá conflictivas?
Para este fin se han desarrollado dos métodos: 1) el método de los factores de ponderación y
2) el método de jerarquías. Ambos se basan en convertir los diversos objetivos en una sola
función, como se detallará en la sección 8.2.
CONJUNTO DE PROBLEMAS 8.1A
1. Formule el problema sobre impuestos de Fairville, suponiendo que el consejo municipal especifica
una meta adicional G5, que indica que el impuesto a la gasolina sea cuando menos 10% de
los impuestos totales.
2. El centro comercial NWShopping Mall organiza eventos especiales para atraer clientes. Los dos
eventos más populares que parecen atraer la atención de los adolescentes y a las personas jóvenes
y adultas son los conciertos de bandas, y las exposiciones de artesanías. Los costos de la representación
de las bandas son $1500, y de las artesanías son $300, respectivamente. El presupuesto
total anual (estricto) asignado a los dos eventos es $15,000. El gerente del centro estima que la
asistencia a los eventos es la siguiente:
Cantidad de asistentes a cada presentación
Evento Adolescentes Jóvenes Adultos
Concierto de banda 200 100 0
Exposición 0 400 250
Se han establecido las metas anuales mínimas de asistencia de adolescentes, jóvenes y adultos
como 1000, 1200 y 800, respectivamente. Formule el problema como modelo de programación
de metas.
3. La oficina de ingreso a Ozark University está procesando las solicitudes para el año académico
venidero. Las solicitudes caen dentro de tres categorías: locales, nacionales e internacionales.
Las relaciones hombres-mujeres para los solicitantes locales y nacionales son 1:1 y 3:2, respectivamente.
Para los estudiantes internacionales, esta relación es 8:1. Un factor importante para aceptar
alumnos nuevos es la calificación de la prueba American College Test (ACT). Según las
Minimizar G4
= s4
-
Minimizar G3
= s3
+
Minimizar G2
= s2
+
Minimizar G1
= s1
+
s4
- s1
+, s2
+, s3
… +
Ú
350 Capítulo 8 Programación de metas
estadísticas, la ACT promedio es 27, 26 y 23, para los alumnos locales, nacionales e internacionales,
respectivamente. El comité de admisión ha establecido las siguientes metas deseables para
la nueva generación:
a) La nueva generación está formada cuando menos por 1200 de primer ingreso.
b) La calificación ACT promedio para todos los alumnos que ingresan es 25, como mínimo.
c) Los alumnos internacionales forman al menos 10% de los nuevos ingresos.
d) La relación hombres-mujeres es 3:4, como mínimo.
e) Los alumnos nacionales forman al menos el 20% de los nuevos ingresos.
Formule el problema como modelo de programación de metas.
4. Las granjas Circle K consumen diariamente 3 toneladas de alimento especial. Ese alimento es
una mezcla de caliza, maíz y soya, y debe satisfacer los siguientes requisitos dietéticos:
Calcio. Cuando menos 0.8%, pero no más de 1.2%
Proteína. Al menos 22%
Fibra. 5% cuando mucho
La tabla siguiente muestra el contenido nutricional de los ingredientes
...