La decisión de las integrales con el uso de las propiedades y fórmulas básicas de integración

1. Resuelve cada una de las siguientes integrales con la aplicación de las propiedades y fórmulas básicas de integración.

A.

= ½ ∫x3 dx - ∫ cot (x)dx1 + ∫ex dx = ½ x4/4 – in/sen(x)1 + ex +c = x4/8 - in 1 sec (x) + cx + c.

B.

= 2∫ √x dx – 2/3 ∫1/√x dx + ∫ πx dx = 2∫ x1/2 dx – 2/3 ∫ x1/” dx + ∫ πx dx

= (2) x3/2 / 3/2 – 2/3 x1/2 /1/2 + πx /1n π1 + c

= 2 [ x1/2/1 /3/2] – 2/3 [x1/2/1 / 1/2 ] + πx /1n π1 +c

= 2 (3 / 2 (x)3/2 ) – 2/3 1/2x1/2 + πx /1n π1 +c

= 3/ x3/2 – 1/ 3√x + πx /1n π1 +c = x3/2 = 3√x.

C.

= ∫(z4 -2z2 +1 / z dz = ∫(z4/z -2z2/z + 1/z) dz = ∫(z3 – 2z + 1/z) dz

= ∫z3 dz - 2∫ zdz +∫ z-1 dz = z4 /4 – 2 ( z2 /2) + 1 | n | z |+c

= z4 /4 – 2z2 /2 1 | n | z |+c = z4 /4 – z2 + | n | z |+c.

D.

= ∫ (2 x4/3 + x + csc (x) ) dx = 2∫ x4/3 dx + ∫csc (x) dx

= 2 [ x7/3 / 7/3 ] + x2/2 in | csc (x) – cot (x) | +c

= 2 [7 / 3x7/3] + x2/2 + in |csc(x) – cot(x) | +c

= 14/3x7/3 + x2 /2 + in | csc (x) – cot (x) | +c.

2. Resuelve los siguientes problemas.

Si se toma el cambio de variable u= 1 – x2, entonces du = -2xdx, eso implica que= xdx = 2 du/2, por lo que la integarl se queda como:

∫ xe1-x2 dx= ∫ e1-x2 –xdx = ∫ eu –du/2 = -1/2 ∫ eu + c, donde "c" es una constante arbitraria. Como "u" = 1 –x2 , que al sustituirlo en la integral termina así=

∫ xe1-x2 dx= 11/2e1-x2 + c.

Si se toma el cambio devariable u = 5x2+ 3, entonces =

Du = 10xdx, por que : 5xdx= du/2, entinses la integrak se recibe como=

∫ 5x / 5x2 + 3 (dx) = ∫ 5xdx/ 5x2 + 3 = ∫ du/2/u = ½ ∫du/u, usuando que ∫ du/u = in |u|, y la integral es ∫5x / 5x2 + 3 (dx) = ½ in |u| + c.

Si se toma el cambio devariable u = 1 + tan(x), entonses= du= sec2(x)dx, por lo que la integral se puede reescribir como: ∫ sec2(x) √1+tan (x) dx= ∫√1+tan (x) sec2(x)dx = ∫√udu = ∫ u1/2 du = u3/2 / 3/2 +c, donde c es una constante arbitraria. Al sustituir u =1+ ta(x), se obtiene que la integral es:

∫ sec2(x) √1+tan (x) dx = 2/3 (1+tanb(x))3/2+c = 2/3√(1+tan (x))3+c.

Sumando un cero para poder factorizar el numero en terminos del facto z-1 se tiene que :

∫ z3+3z+1 / z-1 (dz)= ∫ z3+3z+1+4-4 / z-1 (dz)= ∫ z3+3z+1-4/z-1 (dz) + ∫5/z-1(dx) = ∫(z-1)(z2+z+4)/z-1(dz) = ∫5/z-1(dx) = ∫(z2+z+4)dz + ∫5/z-1(dx) = z3/3 +z2/2+ 4z+k+5 ∫ 1/u(du), donde u= z-1 y k es una constante arbitraria. Por lo que la integral es: ∫ z3+3z+1/z-1 (dz)= z3/3 + z2/2+4z+k+5in|u|+a, donde a es una constante arbitraria. Por lo que la integral es: ∫ z3+3z+1 / z-1 (dz)= z3/3 + z2/2+4z+k+5in|z-1| +c, donde c=a +k , consante arbitraria.

3. Resuelve cada una de las siguientes integrales. Aplica el método de integración por partes.

Al considerar u=x, du= cos(x)dx, entonsers du=dx, u = ∫cos(x)dx = sen(x), por lo que la integral queda: ∫xcos(x)dx = sen(x) - ∫ sen (x)dx = xsen(x) + cos(x).

Al considerar u=x, du = e2xdx, si se tiene que du = dx, u = ∫ e2xdx= 1/2e2x, por lo que la integral se resuele como:

∫xe2xdx= 1/2xe2x - ∫1/2e2xdx = 1/2xe2x – 1/4e2x.

Considerando: u= sen(x), du = exdx, se tiene que : du = cos(x)dx, u = ∫exdx=ex, al integrar queda cmo: ∫ sen(x) exdx = sen(x)ex - ∫ex - ∫ excos(x)dx, al integrar nuevamente por partesm poer ahora considerando u= cos(x), du= exdx, se tiene que = du= -sen(x)dx, u=

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