Funciones como modelos matemáticos

Funciones como modelos matemáticos

El aplicar la Matemática a los problemas de la vida real comprende tres etapas. Primero se traduce el problema a términos matemáticos, entonces decimos que tenemos un modelo matemático. Justamente un modelo matemático es una descripción matemática (a menudo por una función o ecuación) de un fenómeno del mundo real, como el tamaño de la población, la demanda de un producto, la velocidad de un objeto, etc. La finalidad de un modelo es comprender el fenómeno y quizás sacar conclusiones sobre el mismo o predecir comportamientos futuros. Para formular este modelo debemos identificar las variables independientes y dependientes que intervienen y establecer suposiciones que usualmente simplifican el tratamiento matemático del mismo.

Una vez que tenemos el modelo, aplicamos la Matemática que conocemos para obtener la solución del problema. Por último, en la tercera etapa, interpretamos esta respuesta matemática en términos del problema original.

En este apunte nuestra atención se enfocará a la determinación de la función o las funciones que involucran los problemas verbales, dados por tablas o por gráficos.

La facultad para describir las relaciones funcionales que aparecen en un problema es una habilidad matemática que importa desarrollar. Por esta razón mostraremos algunos ejemplos tomados en diferentes campos.

Ejemplo 1

Un estacionamiento en la ciudad cobra $20.00 por la primera hora y $10.00 por cada hora adicional. Expresar la cuota de estacionamiento como una función del número de horas estacionadas.

Solución:

Si x representa el número de horas estacionadas, entonces la cuota de estacionamiento E estará dada por la fórmula E(x) = 20 + 10 (x-1), donde x es un entero positivo. Si pensamos en el dominio de esta función, serán los números naturales del 1 al 24. Usualmente los estacionamientos tienen un concepto que llaman “estadía” para que la persona que estaciona por muchas horas no pague tanto dinero. Por ejemplo: en este estacionamiento se estableció que la estadía es de 60$ ¿Cómo plantearíamos la función que relaciona la cantidad de horas estacionadas con el importe que hay que pagar en este caso?

Ejemplo 2

De una larga pieza de hoja de lata de 25 cm de ancho se va a hacer una canaleta para la lluvia, doblando hacia arriba sus orillas para formar sus lados. Expresar la cantidad de material que se necesita para hacerla y el volumen de agua que puede soportar en función de la altura.

Solución:

Hagamos un dibujo de la canaleta según los datos del problema

No conocemos la longitud de la canaleta, le daremos un nombre: L. Entonces si queremos saber la cantidad de material que tenemos que utilizar, debemos pensar que tenemos el área de tres rectángulos: dos son los laterales, que tienen la misma área: L.x, el otro es el rectángulo base de la canaleta, que tiene área: (25-2x). L, si sumamos los tres tenemos el área total: A(x) = 2 L x + (25-2x) L = 25. L

Para el volumen será: superficie de la base x altura, entonces: V(x) = (25-2x).L.x

¿Cuál es el dominio de esta función V? ¿Y la imagen? ¿Para qué valor de x este volumen es el máximo que puede tomar la canaleta?

Ejemplo 3

Se sabe que 100 gramos de granos secos de soja contienen 35 gr. de proteínas y 100 gr. de lentejas secas contienen 26 gr. de proteínas. Los hombres de talla media que viven en un clima moderado necesitan 70 gr. de proteínas en su alimentación diaria. Supongamos que un hombre quiere conseguir esos 70 gr. de proteínas comiendo soja y/o lentejas.

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